Содержание
Перейти к:
Моделирование процессов усадки в слябах при разливке стали в машинах непрерывного литья заготовок
https://doi.org/10.17073/0368-0797-2026-1-84-90
Аннотация
Предложена математическая модель усадочного процесса в непрерывнолитом слябе при его охлаждении и затвердевании. В основе модели лежат решение уравнения нестационарной теплопроводности и положения теории о квазиравновесной двухфазной зоне. В отличие от ранее предложенных моделей процесса охлаждения и затвердевания сляба, предлагаемая модель учитывает зависимость теплофизических свойств стали от температуры, а также такие особенности, как химический состав разливаемой стали, геометрическую форму поперечного сечения сляба и технологические параметры скорости разливки и интенсивности охлаждения сляба в зоне вторичного охлаждения. Модель реализует решение уравнения теплопроводности с помощью метода конечных разностей, аппроксимация частных производных выполнена по явной схеме. В ходе моделирования производится вычисление температурного поля в расчетной области, представляющей собой четверть поперечного сечения сляба. При этом учитываются граничные условия в кристаллизаторе и секциях охлаждения зоны вторичного охлаждения машины непрерывного литья заготовок. Также модель реализует расчет суммарной усадки в слябе с момента начала кристаллизации. С помощью модели возможно вычисление глубины усадочной раковины, образующейся в слябе после разливки. Адекватность модели подтверждена верификацией, выполненной путем сравнения данных моделирования с экспериментальными данными по глубине усадочной раковины. Выявлена зависимость точности моделирования от количества узлов расчетной сетки. Представленная модель позволяет рассчитывать глубину усадочной раковины и разрабатывать рекомендации по настройке конусности кристаллизатора и параметров роликовой проводки машины непрерывного литья заготовок в зависимости от величины усадки металла при охлаждении и затвердевании непрерывнолитых слябов.
Ключевые слова
непрерывная разливка,
усадка,
сляб,
математическая модель,
усадочная раковина,
кристаллизация,
двухфазная зона,
теплоемкость,
численные методы
Для цитирования:
Чуев А.А., Лукин С.В. Моделирование процессов усадки в слябах при разливке стали в машинах непрерывного литья заготовок. Известия высших учебных заведений. Черная Металлургия. 2026;69(1):84-90. https://doi.org/10.17073/0368-0797-2026-1-84-90
For citation:
Chuev A.A., Lukin S.V. Modeling of shrinkage processes in slabs during steel casting in continuous casting machines. Izvestiya. Ferrous Metallurgy. 2026;69(1):84-90. https://doi.org/10.17073/0368-0797-2026-1-84-90
Введение
Одним из важнейших технологических процессов в современной металлургии является непрерывная разливка. При охлаждении и затвердевании сляба на машине непрерывного литья заготовок (МНЛЗ) в нем происходит усадка металла с образованием усадочной раковины в верхней части конечного сляба. Основной интерес представляет разработка способа расчета усадки непрерывнолитого сляба в кристаллизаторе и зоне вторичного охлаждения (ЗВО) МНЛЗ и определение размеров сляба с учетом усадки. Разработан целый ряд математических моделей, описывающих процессы охлаждения и усадки металла в слябе. Начало исследований по данной теме положено в 70-х годах прошлого века. Так, работа [1] посвящена расчету усадки при затвердевании заготовки круглого сечения. В дальнейшем разрабатываемые модели усложнялись, в них учитывались гидродинамические явления в жидкой фазе [2], более детально описывались выпучивание сляба [3], фазовые переходы в процессе разливки [4], термомеханические явления [5], теплообмен в зоне вторичного охлаждения [6] и др.
Разработка прогнозной модели усадки позволит учитывать влияние усадки на такие технологические параметры, как конусность кристаллизатора и величина раствора роликов ЗВО. В работе [7] сделана попытка прогноза «идеальной» конусности кристаллизатора, используя двумерную математическую модель. Также предпринимались попытки создать модель, учитывающую содержание углерода в стали [8].
В отечественной литературе стоит отметить работы Дюдкина Д.А. [9], Самойловича Ю.А. и Кабакова З.К. [10; 11], посвященные разработке универсальной модели охлаждения и затвердевания непрерывнолитого сляба. Данная модель послужила предтечей для многих моделей, применяемых для разнообразных исследований, таких как модель процесса формирования поверхностных слоев сляба [12], модель деформации непрерывных слябов [13], модель системы ЗВО для МНЛЗ [14; 15] и многие другие.
Большинство предлагаемых моделей содержат допущение о том, что теплофизические свойства металла не зависят от температуры. Значения этих коэффициентов зачастую не изменяются как для твердой, так и для жидкой фазы. В случае, если эти значения неизвестны, они определяются методом линейной интерполяции. Также результаты вычисления параметров усадки во многом зависят от применяемого метода: в работе [16] приводятся сведения об отличии результатов, полученных с помощью различных моделей для одинаковых исходных данных, более чем в 2 раза.
Таким образом, существующие модели усадочных процессов не являются универсальными и далеки от совершенства, поскольку они не учитывают всех особенностей затвердевания и охлаждения сляба на МНЛЗ. В связи с этим возникает потребность в создании более полной математической модели усадочных процессов в непрерывнолитых слябах.
Основные теоретические положения
Математическая модель процесса охлаждения и затвердевания непрерывнолитого сляба основана на решении уравнения нестационарной теплопроводности:
| \[\begin{array}{c}{c_{{\rm{эфф}}}}\rho \left( {\frac{{\partial T}}{{\partial t}} + v\frac{{\partial T}}{{\partial z}}} \right) = \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {\lambda \frac{{\partial T}}{{\partial x}}} \right) + \frac{\partial }{{\partial z}}\left( {\lambda \frac{{\partial T}}{{\partial z}}} \right) + \Theta (x,y,t),\\0 \le t \le {t_{\rm{к}}},{\rm{ }}0 \le x \le B,{\rm{ }}0 \le z \le h,\end{array}\] | (1) |
где cэфф – эффективная теплоемкость стали; ρ – плотность стали; λ – теплопроводность расплава; B – половина толщины сляба, м; h – высота сляба, м; v – скорость вытягивания сляба вдоль вертикальной оси, м/мин, Θ – источник тепла перегретого металла в области действия разливочной струи.
| \[{c_{{\rm{эфф}}}} = \left\{ \begin{array}{l}{c_{\rm{м}}},{\rm{ }}T < {T_{\rm{с}}},{\rm{ }}T > {T_{\rm{л}}};\\{c_{\rm{м}}} - L\frac{{d\psi }}{{dT}},{\rm{ }}{T_{\rm{с}}} \le T \le {T_{\rm{л}}},\end{array} \right.\] | (2) |
где cм – молекулярная теплоемкость сплава; Тс и Тл – температуры солидуса и ликвидуса; L – удельная теплота затвердевания металла в твердожидкой зоне; \(\frac{{d\psi }}{{dT}}\) – темп кристаллизации двойного сплава при равновесных условиях.
Поскольку кристаллизация металла протекает в зависимости от процентной концентрации углерода, для установления зависимости cэфф (T) следует привести диаграмму Fe – C, в частности, ее высокотемпературную область (рис. 1).
Рис. 1. Высокотемпературная область диаграммы Fe – C |
На диаграмме, приведенной на рис. 1, указаны три группы сталей: I – [% С] ≤ 0,1; II – 0,1 < [% С] ≤ 0,16; III – 0,16 < [% C] ≤ 0,5. Для каждой находили значения cэфф (T):
| \[{c_I}(T) = {c_M} - \left\{ \begin{array}{l}0,{\rm{ }}T < {T_{NJ}};{\rm{ }}{T_{NH}} \le T < {T_{AH}};{\rm{ }}T \ge {T_{AB}},\\{L_{{\rm{ж}} - \delta }}\frac{{d{\psi _\delta }}}{{dT}},{\rm{ }}{T_{AH}} \le T < {T_{AB}};\\{L_{\delta - \gamma }}\frac{{d{\psi _\gamma }}}{{dT}},{\rm{ }}{T_{NJ}} \le T < {T_{NH}},\end{array} \right.\] | (3) |
где Lж – δ – теплота превращения «жидкая фаза – феррит»; Lδ – γ – теплота превращения «феррит – аустенит»; ψδ – доля δ-феррита в элементарном объеме раствора «жидкость + δ-феррит»; ψγ – доля аустенита в растворе «δ-феррит + аустенит»; \(\frac{{d{\psi _\delta }}}{{dT}}\) и \(\frac{{d{\psi _\gamma }}}{{dT}}\) – темп образования δ-феррита и аустенита соответственно.
| \[\begin{array}{c}{c_{II}}(T) = {c_M} + \delta (T - {T_J}){Q_1} - \\ - \left\{ \begin{array}{l}0,{\rm{ }}T < {T_{NJ}};{\rm{ }}T \ge {T_{AB}},\\{L_{{\rm{ж}} - \delta }}\frac{{d{\psi _\delta }}}{{dT}},{\rm{ }}{T_J} \le T < {T_{AB}};\\{L_{{\rm{ж}} - \gamma }}\frac{{d{\psi _\gamma }}}{{dT}},{\rm{ }}{T_{NJ}} \le T < {T_J},\end{array} \right.\end{array}\] | (4) |
где δ(T) – функция Дирака, которую аппроксимировали выражением \(\delta (x) \approx \frac{1}{{a\sqrt \pi }}{e^{ - {{\left( {\frac{x}{a}} \right)}^2}}};\)
| \[\begin{array}{c}{c_{III}}(T) = {c_M} + \delta (T - {T_J}){Q_2} - \\ - \left\{ \begin{array}{l}0,{\rm{ }}T < {T_{JE}};{\rm{ }}T \ge {T_{AB}},\\{L_{{\rm{ж}} - \delta }}\frac{{d{\psi _\delta }}}{{dT}},{\rm{ }}{T_J} \le T < {T_{AB}};\\{L_{{\rm{ж}} - \gamma }}\frac{{d{\psi _\gamma }}}{{dT}},{\rm{ }}{T_{JE}} \le T < {T_J}.\end{array} \right.\end{array}\] | (5) |
Аналогичным образом находили зависимости эффективной теплопроводности λэфф (T) и плотности ρ(T) от температуры.
Расчет коэффициента линейной усадки αl (T) производился, исходя из полученных значений теплофизических параметров. Исходя из того, что на зависимость удельного объема от температуры V(T) в системе Fe – C оказывает сильное влияние концентрация углерода, можно сделать вывод, что подобная зависимость имеет место и для линейной усадки. В предлагаемой модели коэффициент αl (T) рассчитывается на основе выражения для объемной усадки, приведенного в работе [17]:
| \[{\alpha _V}(T) = \frac{{dV(T)}}{{dT}}\frac{1}{{V(T)}},\] | (6) |
где V(T) – удельный объём сплава, зависящий от температуры; \(\frac{{dV(T)}}{{dT}}\) – темп изменения удельного объёма.
Полученные в ходе расчета значения αV (T) используются далее для нахождения глубины усадочной раковины [18].
Для решения уравнения (1) применялся метод конечных разностей (МКР) с использованием явной схемы аппроксимации частных производных с вводом фиктивных узлов, позволяющих более точно аппроксимировать заданные на границах производные по x и y. Расчетная область задачи представляет собой четверть поперечного сечения сляба (рис. 2). Количество в области 0 ≤ x ≤ A примем равным N, в области 0 ≤ y ≤ B равным M.
Рис. 2. Схема дискретизации расчетной области. |
В начальный момент времени температура постоянна и равна температуре ликвидуса:
| T(0, x, y) = Tл = const. | (7) |
Граничные условия на Г3 и Г4 :
| \(\lambda \frac{{\partial T}}{{\partial w}} = 0,\) где w = x, y. | (8) |
Граничные условия зон охлаждения грани Г1 :
– на кристаллизаторе:
| q = αкр (Tпов – Tв ), | (9) |
где αкр – коэффициент теплоотдачи в кристаллизаторе; \(q = - \lambda \frac{{\partial T}}{{\partial w}},\) где w = x, y – тепловой поток со стороны одной грани сляба;
– в i-й секции ЗВО:
| \(\lambda \frac{{\partial T}}{{\partial w}}\) = αi (Tпов – Tср ), где w = x, y; | (10) |
– охлаждение на воздухе:
| \[\begin{array}{c}\lambda \frac{{\partial T}}{{\partial w}} = {\alpha _{\rm{л}}}\left( {{T_{{\rm{пов}}}} - {T_{{\rm{ср}}}}} \right),\\{\alpha _{\rm{л}}} = {\sigma _{\rm{л}}}\left( {T_{{\rm{пов}}}^2 + T_{{\rm{ср}}}^2} \right)\left( {{T_{{\rm{пов}}}} + {T_{{\rm{ср}}}}} \right) + {\alpha _{\rm{к}}},\end{array}\] | (11) |
где αi – коэффициент теплоотдачи в i-й секции ЗВО; Тпов – температура поверхности слитка; Тв – температура воды, охлаждающей кристаллизатор; Тм – температура рабочей (медной) стенки кристаллизатора; Тср – температура окружающей среды; σл – коэффициент излучения; αл – эффективный коэффициент теплоотдачи на воздухе; αк – конвективный коэффициент теплоотдачи. Аналогично задаются граничные условия на Г2 .
Методика расчета линейной усадки состоит в следующем. Расчет выполняется для четверти сечения сляба, при этом изотерма солидуса является границей окончательной кристаллизации. В работе [19] получено выражение для относительной скорости деформации твердой корочки:
| \[\eta = \frac{1}{\xi }\int\limits_0^\xi {{\alpha _l}(T)\dot Tdx} ,\] | (12) |
где ξ – толщина твердой корочки; αl (Т) – коэффициент линейной усадки стали; \(\dot T\) – темп изменения температуры в точке x в момент времени t.
Проинтегрировав данное выражение по ширине грани, получим выражения для скорости деформации широкой (ηшг ) и узкой (ηуг ) граней сляба, затем найдем суммарную деформацию граней с момента начала кристаллизации:
| \[{\eta _{{\Sigma _{{\rm{шг}}}}}} = \int\limits_0^t {\frac{1}{{{\xi _{{\rm{шг}}}}}}\int\limits_0^{A(t)} {\int\limits_0^{{\xi _{{\rm{шг}}}}} {{\alpha _l}(T)\dot Tdydxdt} } } ;\] | (13) |
| \[{\eta _{{\Sigma _{{\rm{уг}}}}}} = \int\limits_0^t {\frac{1}{{{\xi _{{\rm{уг}}}}}}\int\limits_0^{B(t)} {\int\limits_0^{{\xi _{{\rm{уг}}}}} {{\alpha _l}(T)\dot Tdxdydt} } } ,\] | (14) |
где ξшг и ξуг – толщина слоя кристаллизованной стали широкой и узкой грани соответственно, мм; αl (T) – коэффициент линейной усадки, град–1; \(\dot T\) – темп снижения/возрастания температуры в точке x в момент времени t, град/с.
Тогда толщина и ширина сляба при кристаллизации определяются как
| \[x_A^{n + 1} = 2A\left( {1 - \eta _{{\Sigma _{{\rm{шг}}}}}^{n + 1}} \right);\] | (15) |
| \[x_B^{n + 1} = 2B\left( {1 - \eta _{{\Sigma _{{\rm{уг}}}}}^{n + 1}} \right).\] | (16) |
Верификация
Модель реализована в виде компьютерной программы. При моделировании приняты следующие исходные данные: толщина сляба B = 0,2 м, высота сляба h = 6,5 м, начальная температура T0 = 1520 °С, температура окружающей среды Тср = 30 °С, температура ликвидуса Тл = 1500 °С, температура солидуса Тс = 1450 °С, количество узлов по толщине 20, количество узлов по высоте 2500, скорость разливки v = 0,4 м/мин, поперечное сечение 200×1200 мм. Длины кристаллизатора и секций ЗВО, а также коэффициенты теплоотдачи по секциям приведены в табл. 1.
Таблица 1. Размер кристаллизатора и секций ЗВО
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Верификация выполнена путем сравнения расчетной глубины усадочной раковины с экспериментальными данными, приведенными в работе [20]. Согласно данной работе, средняя глубина раковины на выборке из 26 слябов составляет 0,353 м. В свою очередь, глубина усадочной раковины, полученная в результате моделирования, составила 0,35 м (рис. 3).
Рис. 3. Рассчитанный профиль усадочной раковины |
В ходе верификации также выявлена зависимость относительной погрешности моделирования от числа узлов по высоте N и толщине M (см. табл. 2 и 3).
Таблица 2. Зависимость глубины усадочной раковины (УР)
Таблица 3. Зависимость глубины усадочной раковины от числа узлов по толщине
|
Из таблиц 2 и 3 следует, что точность моделирования возрастает с увеличением числа узлов по высоте и толщине и достигает приемлемого уровня <5 % при N = 2500 и M = 20.
Выводы
Разработана численная модель процесса усадки непрерывнолитого сляба, особенностью которой является учет теплофизических характеристик металла и технологических параметров разливки.
Верификация показала согласованность данных моделирования с теоретическим расчетом и экспериментом.
Точность моделирования возрастает при увеличении количества узлов по высоте N и толщине M, при этом M сильнее влияет на точность моделирования.
Предложенная модель может служить для усовершенствования технологии непрерывной разливки.
Список литературы
1. Bauman H.G., Schafer G. Beitrag zur Berechnung der Kontraktion von Stahl Während seiner Erstarrung. Archiv für das Eisenhüttenwesen. 1970;41(12):1111–1115. (In Germ.).
2. Telejko T., Malinowsky Z., Rywotycki M. Analysis of heat transfer and fluid flow in continuous steel casting. Archives of Metallurgy and Materials. 2009;54(3):837–844.
3. Wu D., Li J., Qin Q., Ma T. Research on creep material models and bulging of cast slab. In: 2010 Int. Conf. on Mechanic Automation and Control Engineering, Wuhan, China; 2010:5536–5539. https://doi.org/10.1109/MACE.2010.5535615
4. Chimani C.M., Resch H., Mörwald K., Kolednik O. Precipitation and phase transformation modelling to predict surface cracks and slab quality. Ironmaking & Steelmaking. 2005;32(1):75–79. https://doi.org/10.1179/174328105X15814
5. Zappulla M.L.S., Thomas B.G., Hibbeler L.C. Effect of grade on thermal-mechanical behavior of steel during initial solidification. Metallurgical and Materials Transactions A. 2017;48(8):1–17. https://doi.org/10.1007/s11661-017-4112-z
6. Assuncao C., Tavares R., Oliveira G. Improvement in secondary cooling of continuous casting of round billets through analysis of heat flux distribution. Ironmaking & Steelmaking. 2015;42(1):1–8. https://doi.org/10.1179/1743281214Y.0000000190
7. Li C., Thomas B.G., Storkman W.R., Moitra A. Ideal mold taper prediction using CON2D. In: Proceedings of the 9th Int. Iron and Steel Congress, Nagoya, Japan, Iron & Steel Inst. Japan, Tokyo.1999;3:348–355.
8. Zhu L.-G., Kumar R.V. Shrinkage of carbon steel by thermal contraction and phase transformation during solidification. Ironmaking & Steelmaking. 2007;34(1):71–75. https://doi.org/10.1179/174328106X118143
9. Дюдкин Д.А., Крупман Л.И., Максименко Д.М. Усадочные раковины в стальных слитках и заготовках. Москва: Металлургия; 1983:137.
10. Самойлович Ю.А., Кабаков З.К. Учет эффекта релаксации напряжений при определении термических напряжений в отливке. Горение, теплообмен и нагрев металла: Сборник научных трудов. Москва: Металлургия; 1973;(24):100–113.
11. Самойлович Ю.А., Кабаков З.К., Горяинов В.А., Перминов В.П., Подорванов А.Г., Сахнов Б.И. Применение математических моделей для исследования процессов затвердевания и охлаждения непрерывных стальных слитков прямоугольного поперечного сечения. Непрерывная разливка стали. Москва: Металлургия; 1974;(2):44–49.
12. Хасин Г.А. О математическом моделировании процесса формирования поверхностных слоев слитка. Известия вузов. Черная металлургия. 1987;30(8):133–135.
13. Данилов В.Л., Кораблин А.И. Математическая модель деформирования непрерывнолитых стальных слябов. Известия вузов. Машиностроение. 1989;(12):142–145.
14. Яухола М., Кивеля Э., Конттинен Ю., Лайтинен Э. Динамическая модель системы охлаждения вторичной зоны охлаждения для машин непрерывного литья заготовок. Сталь. 1995;(2):25–29.
15. Девятов Д.Х., Пантелеев И.И. Определение коэффициентов теплоотдачи в зоне вторичного охлаждения МНЛЗ с помощью идентифицируемой математической модели. Известия вузов. Черная металлургия. 1999;42(8):62–65.
16. Meng Y., Li C., Parkman J., Thomas B.G. Simulation of shrinkage and stress in solidifying steel shells of different grade. In: Solidification Processes and Microstructures: A Symposium in Honor of Wilfried Kurz edited by M. Rappaz TMS (The Minerals, Metals & Materials Society), Charlotte, NC. 2004:33–39.
17. Thomas B.G., Ojeda C. Ideal taper prediction for slab casting. In: 2003 ISSTech Steelmaking Conf., Indianapolis, IN, USA, April 27-30, 2003, ISS-AIME, Warrendale, PA. 2003:295–308.
18. Кабаков З.К., Габелая Д.И., Чуев А.А. Математическая модель формирования усадочной раковины непрерывнолитой заготовки на МНЛЗ. Тринадцатая Международная научно-техническая конференция «ИНФОС-2022»: Труды. Вологда: Вологодский государственный университет; 2022:14–18.
19. Самойлович Ю.А., Горяинов В.А., Крулевецкий С.А., Кабаков З.К. Тепловые процессы при непрерывном литье стали. Москва: Металлургия; 1982:152.
20. Дюдкин Д.А. Условия формирования концевой части непрерывного слитка. Материалы III конференции по слитку «Проблемы стального слитка»: Труды. Москва: Металлургия; 1969:375–381.
Об авторах
А. А. Чуев
Череповецкий государственный университет
Россия
Россия
Антон Андреевич Чуев, старший преподаватель кафедры математики и информатики
Россия, 162600, Вологодская обл., Череповец, пр. Луначарского, 5
С. В. Лукин
Череповецкий государственный университет
Россия
Россия
Сергей Владимирович Лукин, д.т.н., профессор кафедры теплоэнергетики и теплотехники
Россия, 162600, Вологодская обл., Череповец, пр. Луначарского, 5
Рецензия
Для цитирования:
Чуев А.А., Лукин С.В. Моделирование процессов усадки в слябах при разливке стали в машинах непрерывного литья заготовок. Известия высших учебных заведений. Черная Металлургия. 2026;69(1):84-90. https://doi.org/10.17073/0368-0797-2026-1-84-90
For citation:
Chuev A.A., Lukin S.V. Modeling of shrinkage processes in slabs during steel casting in continuous casting machines. Izvestiya. Ferrous Metallurgy. 2026;69(1):84-90. https://doi.org/10.17073/0368-0797-2026-1-84-90
Просмотров:
231
JATS XML
Послать статью по эл. почте 