Введение

Одним из важнейших технологических процессов в современной металлургии является непрерывная разливка. При охлаждении и затвердевании сляба на машине непрерывного литья заготовок (МНЛЗ) в нем происходит усадка металла с образованием усадочной раковины в верхней части конечного сляба. Основной интерес представляет разработка способа расчета усадки непрерывнолитого сляба в кристаллизаторе и зоне вторичного охлаждения (ЗВО) МНЛЗ и определение размеров сляба с учетом усадки. Разработан целый ряд математических моделей, описывающих процессы охлаждения и усадки металла в слябе. Начало исследований по данной теме положено в 70-х годах прошлого века. Так, работа [1] посвящена расчету усадки при затвердевании заготовки круглого сечения. В дальнейшем разрабатываемые модели усложнялись, в них учитывались гидродинамические явления в жидкой фазе [2], более детально описывались выпучивание сляба [3], фазовые переходы в процессе разливки [4], термомеханические явления [5], теплообмен в зоне вторичного охлаждения [6] и др.Разработка прогнозной модели усадки позволит учитывать влияние усадки на такие технологические параметры, как конусность кристаллизатора и величина раствора роликов ЗВО. В работе [7] сделана попытка прогноза «идеальной» конусности кристаллизатора, используя двумерную математическую модель. Также предпринимались попытки создать модель, учитывающую содержание углерода в стали [8].

В отечественной литературе стоит отметить работы Дюдкина Д.А. [9], Самойловича Ю.А. и Кабакова З.К. [10; 11], посвященные разработке универсальной модели охлаждения и затвердевания непрерывнолитого сляба. Данная модель послужила предтечей для многих моделей, применяемых для разнообразных исследований, таких как модель процесса формирования поверхностных слоев сляба [12], модель деформации непрерывных слябов [13], модель системы ЗВО для МНЛЗ [14; 15] и многие другие.

Большинство предлагаемых моделей содержат допущение о том, что теплофизические свойства металла не зависят от температуры. Значения этих коэффициентов зачастую не изменяются как для твердой, так и для жидкой фазы. В случае, если эти значения неизвестны, они определяются методом линейной интерполяции. Также результаты вычисления параметров усадки во многом зависят от применяемого метода: в работе [16] приводятся сведения об отличии результатов, полученных с помощью различных моделей для одинаковых исходных данных, более чем в 2 раза.

Таким образом, существующие модели усадочных процессов не являются универсальными и далеки от совершенства, поскольку они не учитывают всех особенностей затвердевания и охлаждения сляба на МНЛЗ. В связи с этим возникает потребность в создании более полной математической модели усадочных процессов в непрерывнолитых слябах.

Основные теоретические положения

Математическая модель процесса охлаждения и затвердевания непрерывнолитого сляба основана на решении уравнения нестационарной теплопроводности:

где cэфф – эффективная теплоемкость стали; ρ – плотность стали; λ – теплопроводность расплава; B – половина толщины сляба, м; h – высота сляба, м; v – скорость вытягивания сляба вдоль вертикальной оси, м/мин, Θ – источник тепла перегретого металла в области действия разливочной струи.

где cм – молекулярная теплоемкость сплава; Тс и Тл – температуры солидуса и ликвидуса; L – удельная теплота затвердевания металла в твердожидкой зоне; \(\frac{{d\psi }}{{dT}}\) – темп кристаллизации двойного сплава при равновесных условиях.

Поскольку кристаллизация металла протекает в зависимости от процентной концентрации углерода, для установления зависимости cэфф (T) следует привести диаграмму Fe – C, в частности, ее высокотемпературную область (рис. 1).

На диаграмме, приведенной на рис. 1, указаны три группы сталей: I – [% С] ≤ 0,1; II – 0,1 < [% С] ≤ 0,16; III – 0,16 < [% C] ≤ 0,5. Для каждой находили значения cэфф (T):

где Lж – δ – теплота превращения «жидкая фаза – феррит»; Lδ – γ – теплота превращения «феррит – аустенит»; ψδ – доля δ-феррита в элементарном объеме раствора «жидкость + δ-феррит»; ψγ – доля аустенита в растворе «δ-феррит + аустенит»; \(\frac{{d{\psi _\delta }}}{{dT}}\) и \(\frac{{d{\psi _\gamma }}}{{dT}}\) – темп образования δ-феррита и аустенита соответственно.

где δ(T) – функция Дирака, которую аппроксимировали выражением \(\delta (x) \approx \frac{1}{{a\sqrt \pi  }}{e^{ - {{\left( {\frac{x}{a}} \right)}^2}}};\)

Аналогичным образом находили зависимости эффективной теплопроводности λэфф (T) и плотности ρ(T) от температуры.

Расчет коэффициента линейной усадки αl (T) производился, исходя из полученных значений теплофизических параметров. Исходя из того, что на зависимость удельного объема от температуры V(T) в системе Fe – C оказывает сильное влияние концентрация углерода, можно сделать вывод, что подобная зависимость имеет место и для линейной усадки. В предлагаемой модели коэффициент αl (T) рассчитывается на основе выражения для объемной усадки, приведенного в работе [17]:

где V(T) – удельный объём сплава, зависящий от температуры; \(\frac{{dV(T)}}{{dT}}\) – темп изменения удельного объёма.

Полученные в ходе расчета значения αV  (T) используются далее для нахождения глубины усадочной раковины [18].

Для решения уравнения (1) применялся метод конечных разностей (МКР) с использованием явной схемы аппроксимации частных производных с вводом фиктивных узлов, позволяющих более точно аппроксимировать заданные на границах производные по x и y. Расчетная область задачи представляет собой четверть поперечного сечения сляба (рис. 2). Количество в области 0 ≤ x ≤ A примем равным N, в области 0 ≤ y ≤ B равным M.

В начальный момент времени температура постоянна и равна температуре ликвидуса:

Граничные условия на Г3 и Г4 :

Граничные условия зон охлаждения грани Г1 :

– на кристаллизаторе:

где αкр – коэффициент теплоотдачи в кристаллизаторе; \(q =  - \lambda \frac{{\partial T}}{{\partial w}},\) где w = x, y – тепловой поток со стороны одной грани сляба;

– в i-й секции ЗВО:

– охлаждение на воздухе:

где αi – коэффициент теплоотдачи в i-й секции ЗВО; Тпов – температура поверхности слитка; Тв – температура воды, охлаждающей кристаллизатор; Тм – температура рабочей (медной) стенки кристаллизатора; Тср – температура окружающей среды; σл – коэффициент излучения; αл – эффективный коэффициент теплоотдачи на воздухе; αк – конвективный коэффициент теплоотдачи. Аналогично задаются граничные условия на Г2 .

Методика расчета линейной усадки состоит в следующем. Расчет выполняется для четверти сечения сляба, при этом изотерма солидуса является границей окончательной кристаллизации. В работе [19] получено выражение для относительной скорости деформации твердой корочки:

где ξ – толщина твердой корочки; αl (Т) – коэффициент линейной усадки стали; \(\dot T\) – темп изменения температуры в точке x в момент времени t.

Проинтегрировав данное выражение по ширине грани, получим выражения для скорости деформации широкой (ηшг ) и узкой (ηуг ) граней сляба, затем найдем суммарную деформацию граней с момента начала кристаллизации:

где ξшг и ξуг – толщина слоя кристаллизованной стали широкой и узкой грани соответственно, мм; αl (T) – коэффициент линейной усадки, град–1; \(\dot T\) – темп снижения/возрастания температуры в точке x в момент времени t, град/с.

Тогда толщина и ширина сляба при кристаллизации определяются как

Верификация

Модель реализована в виде компьютерной программы. При моделировании приняты следующие исходные данные: толщина сляба B = 0,2 м, высота сляба h = 6,5 м, начальная температура T0 = 1520 °С, температура окружающей среды Тср = 30 °С, температура ликвидуса Тл = 1500 °С, температура солидуса Тс = 1450 °С, количество узлов по толщине 20, количество узлов по высоте 2500, скорость разливки v = 0,4 м/мин, поперечное сечение 200×1200 мм. Длины кристаллизатора и секций ЗВО, а также коэффициенты теплоотдачи по секциям приведены в табл. 1.

Верификация выполнена путем сравнения расчетной глубины усадочной раковины с экспериментальными данными, приведенными в работе [20]. Согласно данной работе, средняя глубина раковины на выборке из 26 слябов составляет 0,353 м. В свою очередь, глубина усадочной раковины, полученная в результате моделирования, составила 0,35 м (рис. 3).

В ходе верификации также выявлена зависимость относительной погрешности моделирования от числа узлов по высоте N и толщине M (см. табл. 2 и 3).

Из таблиц 2 и 3 следует, что точность моделирования возрастает с увеличением числа узлов по высоте и толщине и достигает приемлемого уровня <5 % при N = 2500 и M = 20.

Выводы

Разработана численная модель процесса усадки непрерывнолитого сляба, особенностью которой является учет теплофизических характеристик металла и технологических параметров разливки.

Верификация показала согласованность данных моделирования с теоретическим расчетом и экспериментом.

Точность моделирования возрастает при увеличении количества узлов по высоте N и толщине M, при этом M сильнее влияет на точность моделирования.

Предложенная модель может служить для усовершенствования технологии непрерывной разливки.