Моделирование и оптимизация влияния температурных швов на напряженно-деформированное состояние сферических металлических литейных форм

Введение

Металлические литейные формы широко применяются в литейном производстве в различных методах литья, например, при литье в кокиль, центробежном литье, литье под давлением, непрерывном литье, жидкой штамповке и др. Основным недостатком этих методов литья является малая долговечность работы металлических форм вследствие внешних силовых и температурных воздействий на них. Такие воздействия приводят к повышенному уровню напряженно-деформированного состояния (НДС) в формах, которые могут разрушаться, или к нарушению геометрии формы от возникающих температурных напряжений. Для снижения такого влияния в производстве применяют различные технологические и конструктивные решения.

Как показывает анализ литературных источников и производственный опыт, на стойкость литейных форм большое влияние оказывает геометрия получаемой в ней отливки. Наиболее непредсказуемой (с точки зрения стойкости литейной формы) является сферическая (шарообразная) форма отливки.

В действующем литейном производстве шарообразных отливок применяются различные типы литейных форм, а именно, разовые песчано-глинистые, керамические и разъемные металлические. Такие литейные формы подвергаются различным внешним силовым и температурным воздействиям, которые могут приводить к разрушению форм или сокращению их работоспособности.

Авторами работы [1] высказано теоретическое предположение и найдено принципиально новое технологическое решение¹ по повышению стойкости сферической керамической оболочковой формы (ОФ) за счет выполнения на ее внутренней поверхности температурных швов. Идея такого технологического решения найдена в результате анализа известного в литейном производстве метода снижения термических напряжений в отливках за счет использования так называемых «ребер жесткости» [2], а в рассматриваемом случае – температурных швов (выточек). Температурный шов представляет собой кольцевую выточку на внутренней поверхности литейной ОФ.

Эволюция НДС металлической литейной формы при литье в кокиль рассматривается в работах [3; 4].

Расчет НДС кокилей осуществляется методом конечных элементов [3] в два этапа: решение задачи теплопроводности и решение задачи упруго-пластической деформации с использованием найденных температурных полей. Расчетные данные позволили спроектировать и внедрить в производство новые, более стойкие чугунные изложницы меньшей массы.

В работе [4] представлены данные по численному моделированию процессов формирования отливок в металлических формах. В качестве методической основы численного моделирования принят метод конечных разностей в варианте явной разностной схемы. Для реализации метода численного моделирования явлений теплопереноса в рассматриваемой системе тел использовалась прямоугольная пространственная сетка в пределах поддона. Шаги сетки в пределах формирующейся отливки, а также для стенки формы и слоя утеплителя сочетались с теплофизическими свойствами поддона для обеспечения условий гомохромности. Устойчивость расчета сохранялась благодаря принятому шагу по времени \(\bar \Delta \)τ ≤ 30 с, при котором число Фурье не превышает своего граничного значения. Задача решалась как двумерная.

Результаты моделирования НДС в затвердевающей стальной отливке [5; 6] позволили спрогнозировать образование в ней трещин, развитие которых зависит не только от температурных полей и связанных с ними тепловых напряжений и деформаций, но и от локализации усадочной пористости.

В работе [7] получено общее выражение, позволяющее рассчитать усадку и термические напряжения в упруго-пластическом диске, обусловленные круговым источником тепла, для произвольного нелинейного закона упрочнения, а также рассчитать упругую разгрузку упруго-пластического диска.

В работе [8] изучены упруго-пластические и остаточные напряжения в толстостенном сферическом сосуде под внешним гидростатическим давлением. В результате исследований был разработан процесс, позволяю­щий создавать благоприятные остаточные напряжения при сжатии во внутренней части цилиндрических и сферических сосудов.

Предметом работы [9] была функционально-градиентная полая сфера со сферической изотропией, подверженная внутреннему давлению. Целью работы являлась реализация благоприятного распределения напряжений в полой сфере, подверженной внутреннему давлению, для пластичного и хрупкого поведения материала.

В работе [10] рассмотрена переходная термоупругая задача, включающая многослойный полый цилиндр с кусочно-степенной неоднородностью из-за асимметричного нагрева с его поверхностей. Было исследовано влияние функциональной градации на термические напряжения.

Решалась численная задача в программном комплексе ANSYS Mechanical для двухслойной толстостенной сферической оболочки при температурно-силовом воздействии [11].

Решение задачи для напряжений и смещений в толстой сферической оболочке, подверженной внутренним и внешним нагрузкам давления, представлено в работе [12].

На основе теории плоской упругости определены компоненты смещения и напряжения в толстостенных сферических сосудах высокого давления, изготовленных из неоднородных материалов, подвергающихся внутреннему и внешнему давлению [13]. Исследуется влияние неоднородности материала на упругие деформации и напряжения.

Оптимизация конструкции для трехслойного цилиндра с термоусадкой из разных материалов, подвергающегося очень высокому давлению, исследовалась в работе [14].

В работе [15] проведено моделирование осесимметричной многослойной оболочки. Решена задача о плоской деформации для цилиндра, окруженного кольцевыми слоями. Показано численное решение для изучения зависимости распределения остаточных напряжений от свойств материала в процессе охлаждения.

В работе [16] исследовано влияние величины угла охвата поверхности сферической керамической ОФ опорным наполнителем (ОН) на уровень НДС в ней при получении стальной шарообразной отливки. Сформулирована задача по оптимизации стойкости сферической керамической ОФ от угла охвата ее ОН при затвердевании и охлаждении в ней стальной шарообразной отливки в условиях целевой функции min – max. Оценка трещиностойкости ОФ проводилась по величине нормальных напряжений в ней.

Для теоретического моделирования процесса эволюции НДС в форме на начальном этапе процесса охлаждения использованы уравнения линейной теории упругости, уравнения теплопроводности и апробированный численный метод [17], который широко применяется для решения других задач подобного рода.

Моделирование и оптимизация смежных вопросов в других различных процессах исследовались в работах [18; 19].

Целью работы [18] является создание эффективного численного алгоритма решения осесимметричных обратных задач проектирования средств тепловой маскировки (многослойных сферических маскировочных оболочек) и анализ результатов проведенных вычислительных экспериментов. В качестве процедуры численной оптимизации при решении данных задач применен оптимизационный метод роя частиц, предложенный в работе [20].

В работе [19] исследуется вопрос о пластической неустойчивости тонкостенного сферического сосуда из материала с пластической ортотропией, нагруженного внутренним импульсным давлением. С использованием программного обеспечения Mathematica установлено влияние скорости деформации и параметра пластической ортотропии на значение деформации, при котором возникает неустойчивость.

В настоящей работе анализируется стойкость сферической металлической литейной формы при кристаллизации в ней стальной отливки, а именно, развивается найденное ранее для керамических сферических ОФ технологическое решение уменьшения величины нормальных напряжений (по модулю) в сечении сферической ОФ путем упорядоченного расположения в ней выточек. Решается задача по нахождению оптимальной конструкции металлической формы сферической конфигурации, способной выдержать температурный перепад на начальном этапе процесса охлаждения при заливке в нее жидкой стали. Стойкость формы такой конфигурации имеет большое значение при изготовлении шарообразных отливок, применяемых в многочисленных конструкциях и имеющих высокие требования к точности изготовления.

Математическая постановка задачи

Рассматривается осесимметричное тело вращения (рис. 1), имеющее в меридианном сечении: I – жидкую фазу (сталь); II – твердую фазу (закристаллизовавшийся металл); III – литейную металлическую форму с кольцевыми выточками на внутренней поверхности; IV – опорную конструкцию (ОК). Форма разъемная с внутренними кольцевыми выточками. Жидкий металл заливается в полость литейной формы сверху через литниковую воронку (ЛВ). Вид А – эскиз круговой выточки во внутреннем слое формы с соответствующими поверхностями, по которым будут установлены граничные условия.

Представленная ниже расчетная схема адекватно соответствует реальному технологическому процессу получения сферической стальной отливки в металлической форме.

Поскольку решается задача Коши, то физический фактор отвода тепла при охлаждении может быть осуществлен любым известным технологическим способом, например, естественным или принудительным охлаждением и т. п.

Рассмотрим вариант с двумя выточками на внутренней поверхности формы (рис. 2). Требуется найти такое рациональное их расположение на внутренней поверхности, чтобы наибольшие (по модулю) значения нормальных напряжений σ₂₂ были бы минимальны.

Для этого условия целевая функция будет иметь вид:

при ограничениях

здесь Q – площадь меридианного сечения формы.

Ограничение по τ взято из решения подобной задачи, когда при охлаждении жидкого металла в форме без выточек напряжения σ₂₂, σ₃₃ по сечениям уменьшаются по модулю уже при τ > 10 с. Ограничение по углу раствора γ₀ следует из условия, что уменьшение сжимающих напряжений σ₂₂ при наличии выточки распространяется на ограниченную область.

Центральную роль в задаче занимает решение системы уравнений линейной теории упругости на временном шаге \(\bar \Delta {\tau _n}\).

Используя уравнения линейной теории упругости, запишем для каждой из областей систему уравнений в декартовой системе координат:

‒ область I (жидкий металл):

‒ области II, III (закристаллизовавшийся твердый металл, форма):

где U_i – перемещения; ε_ij – деформации; σ – гидростатическое напряжение; p = I, II, III – рассматриваемые области; G_p(θ) – модуль сдвига в области p (p = II, III); G_p (p = II, III) – модуль сдвига металла (p = II) и формы (p = III); δ_ij – символ Кронекера; k_p – коэффициенты объемного сжатия; α_p – коэффициенты линейного расширения (p = II, III); a_p – коэффициенты температуропроводности (p = I, II, III); θ – текущая температура; τ – время; \(\theta _p^*\) – начальные температуры в области p = I, II, III; P₁ – давление в области I; \({a_p} = \frac{{{\lambda _p}}}{{{c_p}{\gamma _p}}};\) λ_p – коэффициент теплопроводности; c_p – коэффициент теплоемкости; γ_p – удельный вес; Δ – оператор Лапласа.

В процессе охлаждения жидкого металла при условии, что θ_м ≤ θ_к (где θ_м – температура металла; θ_к – температура кристаллизации), определяется толщина затвердевшего слоя из решения межфазового перехода:

где θ₁ и θ₂ – температура твердой и жидкой фаз; λ₁ и λ₂ – коэффициент теплопроводности твердой и жидкой фазы; L – скрытая теплота плавления; ρ – плотность твердой фазы; x – текущая толщина корочки затвердевшего металла; n – нормаль к границе двух фаз.

Если предположить, что температура в твердой фазе по толщине δx_n изменяется по линейному закону и градиент температуры в жидкой фазе равен нулю, то решение уравнения (5) дает следующую зависимость для определения толщины закристаллизовавшейся корочки δx_n на временном шаге \(\bar \Delta {\tau _n}\) [21]:

здесь \(\bar \Delta {\theta _1}\) – перепад температур в твердой фазе вблизи фронта кристаллизации.

Начальные условия задачи (3), (4):

– \({\left. {\delta x} \right|_{\tau  = 0}} = 0\) – отсутствие твердой фазы металла;

– \({\left. {{\theta _1}} \right|_{\tau  = 0}} = {\theta _0}\) – температура разливаемого жидкого металла (1500 °С);

– \({\left. {\theta _3^*} \right|_{\tau  = 0}} = {\theta ^*}\) – начальная температура формы (20 °С).

Начальные значения напряжений равны нулю.

Решение системы (3), (4) осуществляется в ортогональной системе координат. Задача осесимметричная:

U₃ = 0; σ₃₁ = σ₃₂ = 0; ε₃₁ = ε₃₂ = 0.

Граничные условия задачи (3, 4) (рис. 1):

– на оси симметрии

U₂ = 0; σ₂₁ = 0; q_п = 0;

– на поверхностях S₁ – S₈

где q_п – тепловой поток; \({S_3} = {S'_3} + {S''_3}\) – поверхности соприкосновения формы с опорной конструкцией и свободной поверхностью.

Для решения системы уравнений (3), (4) с граничными условиями (7) использован численный метод, описанный в работе [17] и примененный в исследованиях [21; 22] и др. Рассматриваемая область разбивается системой ортогональных поверхностей на элементы конечных размеров, для каждого элемента записывается система (3), (4) в разностной форме через значения напряжений и перемещений по граням элементов и длин дуг ребер, образующих элемент, которая решается с учетом начальных и граничных условий по разработанной в работе [17] методике и составленному алгоритму. Результаты решения: напряжения и перемещения по граням каждого элемента и средняя температура по каждому элементу на временном шаге. Численное решение задачи осуществлялось с использованием разработанной программы и программного комплекса «Одиссей»².

Разностный аналог уравнения теплопроводности для ортогонального элемента строится из теплового баланса [17] и включает среднюю температуру по элементу и температуры окружающих его элементов, а также длины дуг, образующих ортогональные элементы. Численное решение этой системы уравнений осуществляется методом прогонки.

Алгоритм решения задачи

Решение задачи (1) с условиями (2) осуществляется согласно нижеописанному алгоритму.

1. Исследуемая область разбивается на конечное число ортогональных элементов; задаются геометрические размеры S и R.

2. Время охлаждения τ^* = 15 с при решении задачи (1) с условиями (2) разбивается на конечное число шагов: τ^* = \(\sum {\bar \Delta {\tau _n}} ,\) где n – номер временного шага.

3. Задаются физико-механические свойства материалов: жидкой и кристаллизующейся стали, формы.

4. Задаются геометрические размеры выточек  \(\bar \Delta {\varphi _0}\), φ, γ₀.

5. Задается шаг по изменению текущего параметра γ: \(\bar \Delta \gamma \).

6. Задаются начальные и граничные условия по элементам, образующим рассматриваемую область, и областям, образующих выточки.

7. Вычисляются длины дуг элементов, образующих конкретную область.

8. Определяется поле температур на временном шаге \(\bar \Delta {\tau _n}\) численным решением уравнения теплопроводности при наличии начальных и граничных условий на данном временном шаге.

9. Если в области I у поверхности S₂ температура \({\left. \theta  \right|_{{S_2}}}\) ≤ θ_к, то вычисляется толщина закристаллизовавшейся корочки по формуле (6); следует перестройка сетки с операции 7. Если \({\left. \theta  \right|_{{S_2}}}\) > θ_к, то выполняется операция 10.

10. Решается система уравнений (4) (исключая уравнения теплопроводности) по методике, описанной в работе [17]. Определяются поля напряжений σ_ij и перемещений U_i (i, j = 1, 2, 3).

11. По области Q на поверхности S₂ находится максимальное (по модулю) напряжение σ₂₂ и заносится в матрицу \({\left\{ {{\sigma _2}} \right\}^\prime }\).

12. Производится шаг по времени. Если \(\sum {\bar \Delta {\tau _n}} \) < τ^*, то выполняется операция 8. Если \(\sum {\bar \Delta {\tau _n}} \) = τ^*, то выполняется операция 13.

13. Из матрицы \({\left\{ {{\sigma _2}} \right\}^\prime }\) находится значение σ₂₂ = max\({\left\{ {{\sigma _2}} \right\}^\prime }\) и заносится в матрицу \({\left\{ {{\sigma _2}} \right\}^{\prime \prime }}\).

14. Производится шаг γ_n = γ_n – 1 – \(\bar \Delta \gamma \); τ = 0. Если γ_n = 0, то следует операция 15, если γ_n > 0, следует операция 6.

15. Из матрицы \({\left\{ {{\sigma _2}} \right\}^{\prime \prime }}\) выбирается значение \(\overline {{\sigma _{22}}}  = \min {\left\{ {{\sigma _3}} \right\}^\prime }\) и соответствующие ему время τ и угол γ.

16. Окончание решение задачи.

Результаты исследования и их обсуждение

Геометрические параметры формы: S₀ = 50 мм, R = 20 мм, φ = 150°.

Временные интервалы: \({\bar \Delta {\tau _n}}\): 0,01; 0,02; 0,03; 0,04; 0,05; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 2,0; 5,0; 6,0; 8,0; 9,0 с; P₁ = 1 кг/cм².

Разбиение области N₁×N₂ = 13×20.

Как показали расчеты, разбивка области на 13×20 элементов по первой и второй координатной оси у формы без выточек вполне пригодна для анализа проводимых расчетов. Аналогично и у формы с выточками, разбивка на 13×20 элементов по тем же координатным осям тоже вполне оправдана.

Параметры разливаемой стали при θ > 1000 °C (\(\theta _{\rm{м}}^*\) = 1000 °C):

Физические свойства металлической формы такие же, как и в (8), но

Начальные значения процесса оптимизации \(\bar \Delta {\varphi _0}\) = 23°, γ₀ = 104°; размеры выточек A₁, A₂ (7,1×2,6) мм в направлении осей 1 и 2 (рис. 3). Размеры выточек соответствуют размерам элементов сетки.

В результате расчетов по приведенному выше алгоритму получено:

На рис. 3 приведены эпюры σ₁₁, σ₂₂ и перемещения U₁, U₂ по граням выточек A₁, A₂ в форме. Видим, что по внутренним углам выточек A₁, A₂ имеют место концентраторы напряжений σ₂₂, соответственно равные –30,1 и –30,2 МПа, которые несколько выше (по модулю), чем найденное значение F. Для сравнения на рис. 4 приведены эпюры напряжений σ₂₂, МПа, по сечению формы, не имеющей выточек; время то же – 8,6 с. Напряжение σ₃₃ не приведено, так как оно примерно равно напряжению σ₂₂ с разницей ±1 %.

Видна существенная разница по напряжениям σ₂₂.

На рис. 5 приведены эпюры напряжений σ₃₃ для найденных параметров (10).

Хотя напряжения σ₃₃ по многим сечениям уменьшились (по модулю), но на большом участке сжимающие напряжения довольно значительны (более 60 МПа). Следовательно, необходимо было оптимизацию вести как по σ₂₂, так и по σ₃₃. Напряжение σ₂₂ было взято, так как выточки в форме как бы прорезают их значительные значения на поверхности S₃ в момент начального процесса охлаждения (рис. 4), не влияя на осевую симметрию. По всей видимости, для глобального снижения сжимающих напряжений σ₂₂ и σ₃₃ необходимо делать в форме дополнительные выточки, перпендикулярные заданным.

Но это уже другая задача (не осесимметричная), с другими уравнениями и другими граничными условиями.

В рамках настоящей работы проведена попытка понизить (по модулю) напряжения σ₃₃, введя дополнительные выточки на поверхности S₂. По результатам полученного решения (10) следует, что выточки расположены на поверхности S₂ симметрично по углу φ с углом раствора γ (рис. 2). При этом наибольшие (по модулю) напряжения σ₃₃ как раз имеют место внутри раствора угла γ (рис. 5). Введем дополнительно еще две выточки на поверхности S₂ внутри найденного угла γ. Проведем расчет НДС оболочечной стальной формы с заданными четырьмя выточками на поверхности S₂ по приведенному выше алгоритму до τ = 8,6 с. Алгоритм значительно упрощается, так как расположение выточек фиксировано и время охлаждения задано. На рис. 6 приведены результаты расчета σ₂₂ и σ₃₃ по сечению формы на конец временного шага τ^* = 8,6 с. Наблюдаем значительное снижение (по модулю) напряжений σ₂₂, а также снижение (по модулю) напряжений σ₃₃.

Таким образом, новизной настоящей работы является постановка задачи по установлению расположения температурных швов как технологически важных областей, так и значений напряжений в сферической металлической форме в условиях целевой функции min–max, а также алгоритм решения.

Предложенные методика, алгоритм моделирования и оптимизации стойкости сферических металлических форм к трещинообразованию могут быть использованы при численном решении других задач для различных функциональных оболочек.

Выводы

Поставлена и решена задача оптимизации конструктивных параметров температурных швов в сферической металлической литейной форме при заливке в нее расплавленного металла. При анализе НДС выявлены конструктивные особенности литейной металлической формы сферической конфигурации.

Наличие температурных швов на поверхности соприкосновения внутренней части формы с жидким металлом значительно снижает влияние возникающих температурных напряжений в первые моменты охлаждения отливки.

Определены рациональные области расположения температурных швов в ОФ и значения напряжений в них в условиях целевой функции min-max и разработанного алгоритма решения.