Введение

Высокий уровень напряженно-деформированного состояния (НДС) является основной причиной образования макро- и микротрещин в оболочковых формах (ОФ), а также их полного разрушения за счет температурного воздействия при заливке жидким металлом на начальной стадии охлаждения затвердевающей отливки.

Изучению НДС ОФ посвящены работы как отечественных, так и зарубежных исследователей. Рассмотрены влияние формы и геометрии ОФ [1; 2], толщины стенки формы [3; 4], материала формы [5; 6], геометрии отливки [7 ‒ 9].

Настоящая работа является продолжением целой серии работ, в которых рассматривались различные факторы, влияющие на стойкость литейной ОФ при кристаллизации в ней стальной отливки: физические свойства исходных материалов и самой ОФ; ее морфологическая структура; факторы внешнего воздействия со стороны опорного наполнителя (ОН). Значительное влияние на трещиностойкость оказывает конфигурация ОФ. Было показано, что наиболее опасными являются нормальные растягивающие напряжения, которые возникают на наружной поверхности оболочковой формы в начальный момент заливки металла и охлаждения в ней стальной отливки.

В работах [10 ‒ 12] представлено математическое моделирование рассматриваемых процессов с использованием численных методов. В работе [13] приводится общая постановка задачи по построению математической модели расчета НДС и температуры в ОФ при затвердевании в ней сферической отливки, а в работе [14] ‒ результаты решения поставленной задачи по предложенной математической модели, численной схеме и алгоритму с использованием численного метода [15] и авторской программы [16].

Поиски новых решений по снижению критического уровня НДС в ОФ базируются на новейших конструкторско-технологических разработках, результатах изучения их структурного морфологического строения. Так, в работах [17; 18] рассчитаны температурные напряжения в сферической керамической оболочковой форме в процессе заливки и затвердевания металла. Одной из последних разработок является литейная керамическая ОФ, предложенная в Комсомольском-на-Амуре государственном университете, на конструкцию которой получен патент1.

При заливке жидким металлом на наружной поверхности ОФ с цилиндрическими участками возникают значительные растягивающие напряжения, которые могут привести к образованию микро- и макротрещин, что, в свою очередь, может способствовать разрушению оболочковой формы. Наличие в этих зонах кольцевых температурных швов обеспечивает снижение растягивающих напряжений до рабочего уровня.

Целью настоящей работы является установление особенностей влияния температурных швов в виде кольцевых выточек на НДС ОФ при их заливке металлом и охлаждении формирующейся стальной отливки. Показана эффективность уменьшения растягивающих напряжений по наружной поверхности ОФ за счет выполнения на ней температурных швов.

Математическая постановка задачи

Рассматривается осесимметричное тело вращения, содержащее сферический и цилиндрический участки. На рис. 1 показана схема литейной формы (ЛФ) с учетом осевой симметрии (I ‒ жидкий металл; II ‒ затвердевающая корочка металла; III ‒ оболочковая форма; IV ‒ опорный наполнитель; ai ‒ круговые выточки на поверхности; S3 – поверхность соприкосновения формы III с опорным наполнителем IV).

Требуется найти минимальное количество и геометрическое расположение круговых выточек  \({\left. {{a_i}} \right|_{{S_3}}}\), чтобы литейная форма III не разрушилась при охлаждении в ней стальной отливки.

Пусть А – конечное множество круговых выточек ai на поверхности S3 ; A = {ai , i = 1, ..., n}. Как известно, наиболее опасными напряжениями при заливке стали в ОФ являются нормальные растягивающие напряжения σ22 и в меньшей степени σ33 . При охлаждении стали в ОФ с цилиндрическими участками наиболее опасными являются растягивающие напряжения σ22 на поверхности S3 .

В процессе охлаждения отливки в ОФ наблюдаются следующие периоды: рост нормальных напряжений (по модулю) из-за большой неравномерности температуры в поперечном сечении ОФ; далее поле температур по сечению выравнивается и начинается уменьшение нормальных напряжений (по модулю). Таким образом, имеется максимальное время охлаждения (τ*), при котором наблюдается максимум величины σii .

Значение τ* определим из функции:

при ограничении τ ≤ 60 с.

Для определения величины F запишем систему уравнений в декартовой системе координат для каждой из подобластей (рис. 1), используя уравнения линейной теории упругости:

‒ область I:

‒ области II, III:

где σij – компоненты тензора напряжений; σ – гидростатическое напряжение; εij – компоненты тензора упругих деформаций; h – текущая высота столба жидкого металла; \({k_p}(\theta ) = \frac{{1 - 2\mu }}{E}\) – коэффициент объемного сжатия; m ‒ коэффициент Пуассона; E – модуль Юнга; Gp(θ) – модуль сдвига в области p (p = II, III); αp – коэффициент линейного расширения; a1 – температуропроводность в области I; τ – время; θ – температура; Cp – удельная теплоемкость в области p; γ – удельный вес металла; \(\theta _p^*\) – начальная температура в области р; λ = λ(θ) – коэффициент теплопроводности; δij – символ Кронекера; используется суммирование по повторяющимся индексам.

В процессе охлаждения жидкого металла при условии θм ≤ θк (где θм и θк – температура металла и кристаллизации) определяется толщина затвердевшего слоя Δi из решения уравнения межфазового перехода [19]:

здесь Δθ1 – перепад температур в твердой фазе вблизи фронта кристаллизации; λ1 – коэффициент теплопроводности в твердой фазе; L – скрытая теплота плавления; ρ – плотность твердой фазы; Δn – толщина корочки на n-ом временном шаге.

Начальные условия задачи:

– \({\left. \Delta  \right|_{\tau  = 0}} = 0\) – отсутствие твердой фазы металла;

– \({\left. {\theta _I^*} \right|_{\tau  = 0}} = \theta _{\rm{м}}^*\) – температура разливаемого жидкого металла;

– \({\left. {\theta _{III}^*} \right|_{\tau  = 0}} = {\theta ^*}\) – начальная температура формы.

Граничные условия задачи (рис. 1) в ортогональных координатах:

‒ для осесимметричной задачи

‒ на оси симметрии

\[{U_2} = 0;{\rm{ }}{{\rm{\sigma }}_{21}} = 0;{\rm{ }}{q_n} = 0;{\rm{ }}\theta  = {\theta _{\rm{м}}};\]

‒ на поверхностях S1 , S3 , S4

где Uск – скольжение материала формы относительно ОН (песка); U * – нормирующее перемещение; ψ – параметр, характеризующий условия трения между формой и опорным наполнителем; τs – условный предел текучести при сдвиге; qn – тепловой поток; \({S'_3}\) ‒ контактная поверхность; \({S''_3}\) ‒ свободная поверхность.

Решение систем уравнений (2), (3) при наличии начальных и граничных условий (6) осуществляется численным методом, описанным в работе [15].

При решении температурной задачи использовали граничные условия первого рода. Для определения θм(τ) и θ*(τ) воспользуемся данными работы [20], по которым получим следующие формулы:

где τ – время охлаждения, с; \(\theta _{\rm{м}}^*\) = 1550 °C; θ1 = 100 °C; τ1 = 60 с; τ2 = 1 с.

Время τ не превышает 60 с, так как при τ ≥ 60 с напряжения в ОФ не представляют опасности разрушения.

Алгоритм решения задачи F

1. Время охлаждения τ разбивается на конечное число шагов: \(\tau  = \sum {\Delta {\tau _n}} \); здесь n ‒ номер временного шага; задаются геометрические размеры.

2. Исследуемая область разбивается системой ортогональных поверхностей на конечное число элементов.

3. В соответствии с работой [15] вычисляются длины дуг элементов  (i, k = 1, 2, 3; i ≠ k; j = 1, 2).

4. Задаются начальные и граничные условия по элементам, образующим рассматриваемую область, и константы физико-механических свойств материалов.

5. Определяется поле температур на временном шаге Δτn численным решением уравнения теплопроводности с использованием итерационной формулы, полученной в работе [15], при наличии начальных и граничных условий на рассматриваемом временном шаге.

6. Если температура в области I (рис. 1) у поверхности S2\({\left. \theta  \right|_{{S_2}}} \le {\theta _{\rm{к}}}\), то вычисляется толщина закристаллизовавшейся корочки Δn по формуле (4).

7. Решается система уравнений (3) с учетом начальных и граничных условий, разностных аналогов и разработанной методики, описанной в работе [15], с использованием комплекса программ [16]. Определяются поля напряжений σij и перемещений Ui (i, j = 1, 2, 3).

8. На поверхности S3 проводится оценка прилегания формы к ОН по каждому элементу: если \({\left. {{\sigma _{11}}} \right|_{{S_3}}} > 0 \Rightarrow {\sigma _{11}} = 0,{\rm{ }}{\sigma _{12}} = 0,\) следует переназначение граничных условий и выполняется операция 7. Уточняются физические величины, зависящие от температуры.

9. По области Q анализируются напряжения σ22 , выбирается наибольшее и запоминается в соответствии с данным временным шагом. Формируется матрица \(\left\| {\sigma _{22}^*} \right\|\).

10. Проводится шаг по времени. По формулам (7) уточняются граничные условия решения температурной задачи. Если на n-ой итерации max | σ22 |n < max | σ22 |n – 1 , тогда выполняется операция 11, если max | σ22 |n > max | σ22 |n – 1 , то выполняется операция 5.

11. Из матрицы \(\left\| {\sigma _{22}^*} \right\|\) находим max σ22 и соответствующее время τ = τ*.

Результаты решения задачи

Геометрические параметры: S = 5 мм, R = 20 мм.

Временные интервалы Δτn : 0,01; 0,02; 0,03; 0,04; 0,05; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 2,0; 5,0; 5,0; 5,0; 3,0; 3,0; 5,0; 5,0; 5,0; 5,0 с;

Разбиение области: N1×N2 = 9×13;

Приняты следующие физические параметры разливаемой стали при θ > 1000 °C (\(\theta _{\rm{м}}^*\) = 1500 °C) [20]:

где L = 270·103 Дж/кг (скрытая теплота плавления); C = 444 Дж/(кг·°C); γ = 7,80·10–6 кг/мм3; θк = 1450 °C.

Физические свойства керамической формы:

Принято усредненное значение модуля сдвига формы Gф , не зависящее от температуры.

Расчет по приведенному выше алгоритму с использованием комплекса программ работы [16] показал следующее:

Результат решения приведен на рис. 2 в виде эпюр по сечению рассматриваемой оболочки. Напряжения σ22 весьма значимы. На облицовочном слое σ22 отрицательны и достигают величины ‒42,7 МПа. На наружном слое (контакте с опорным наполнителем) напряжения σ22 положительны и возрастают к верхней части формы. Напряжения σ22 при заливке стали в керамическую форму с физическими характеристиками (8), (9) довольно высоки.

Зная значения τ* (10), перейдем к решению задачи по определению множества {A}. При рассмотрении процесса охлаждения стали в керамической форме, имеющей температурные швы (круговые выточки) на поверхности S3 , имеет место ограничение:

В отличие от предыдущей задачи сечение Q представляет многосвязную область. Начальные и граничные условия во многом совпадают с предыдущей задачей. Граничные условия (6) дополняются (рис. 1):

Выполняется также соотношение (7).

Алгоритм решения задачи

1. Задаются геометрические размеры области, конечное время охлаждения τ*, геометрические размеры выточек (выточки). Время охлаждения τ* разбивается на конечное число шагов: τ* = \(\tau  = \sum {\Delta {\tau _n}} \); здесь n ‒ номер временного шага.

2. Исследуемая область разбивается системой ортогональных поверхностей на конечное число элементов.

3. Вычисляются длины дуг элементов \(S_{ij}^k\) (i, k = 1, 2, 3; i ≠ k; j = 1, 2) в соответствии с работой [15].

4. Задаются начальные и граничные условия по элементам, образующим рассматриваемую область ((5), (6), (12)), и константы физико-механических свойств материалов.

5. Определяется поле температур на временном шаге Δτn численным решением уравнения теплопроводности с использованием итерационной формулы, полученной в работе [15], при наличии начальных и граничных условий на рассматриваемом временном шаге. Наличие выточек при решении температурной задачи не учитывалось.

6. Если в области I у поверхности S2 выполняется условие \({{{\left. \theta  \right|}_{{S_2}}} \le {\theta _{\rm{к}}}}\), то вычисляется толщина закристаллизовавшейся корочки Δn по формуле (4).

7. Решается система уравнений (2), (3) с учетом начальных и граничных условий (5), (6), (12), разностных аналогов и разработанной методики, описанной в работе [15], с использованием программы [16]. Определяются поля напряжений σij и перемещений Ui (i, j = 1, 2).

8. На поверхности S3 проводится оценка прилегания формы к ОН по каждому элементу: если \({\left. {{\sigma _{11}}} \right|_{{S_3}}} > 0 \Rightarrow {\sigma _{11}} = 0,{\rm{ }}{\sigma _{12}} = 0,\) то осуществляется переназначение граничных условий и выполняется операция 7.

9. Проводится шаг по времени. По формулам (7) уточняются граничные условия решения температурной задачи: если \(\tau  = \sum {\Delta {\tau _n}} \) > τ*, то выполняется операция 5; если \(\tau  = \sum {\Delta {\tau _n}} \) = τ* ‒ выполняется операция 10.

10. По области Q анализируются напряжения σ22 и выбираются наибольшие.

11. Находятся первые по координате x2 напряжения \({\left. {{\sigma _{22}}} \right|_{{S_3}}}\) , превосходящие ограничения (11), и в этом сечении по координате x2 устанавливается выточка ai . В случае, если после установки и последующего просчета 5 получим, что \({\sigma _{{{22}_n}}} > {\sigma _{{{22}_{n - 1}}}}\), то выточка (ai )n – 1 остается на месте по поверхности S3 и вводится следующая выточка ai на месте, где \({\sigma _{{{22}_n}}}\) больше ограничений, и следует операция 5.

12. Процесс расчета заканчивается, когда по области Q будут выполнены ограничения (11).

Результаты решения задачи

Геометрические размеры, временные интервалы, разбиение области такие же, как и в предыдущей задаче. Физические свойства разливаемой стали (8), физические свойства керамики (9), размеры выточек: ai = (Δx1 , Δx2 ), Δx1 = 1 мм, Δx2 = 3 мм.

Расчет по приведенному выше алгоритму показал следующие значения: A {1, 2, 3, 4}; max σ22 = 19,2 МПа, геометрическое местоположение выточек и температуры в сечении показаны на рис. 3. Полученные результаты по напряжениям σ22 приведены на рис. 4.

Видим, что внутренняя область ОФ, контактирующая с металлом, находится в состоянии сжатия, а внешний (наружный) и прилегающие слои находятся под воздействием небольших растягивающих напряжений. Наибольшие по модулю сжимающие напряжения имеют место в облицовочном слое донной сферической части ОФ, а растягивающие ‒ в прилегающих к наружному слоях. Все максимальные значения напряжений отвечают ограничению (11), хотя и очень близки в некоторых сечениях к граничным значениям.

Новизной настоящей работы являются как постановка задачи, так и значения напряжений в ОФ, а также алгоритм решения. Сформулирована и решена задача математического программирования по влиянию на НДС ОФ выточек и мест их нанесения при затвердевании стальной отливки на НДС ОФ. Аналогичных задач в такой постановке не решалось, полученные результаты имеют важное практическое значение.

Выводы

Поставлена осесимметричная задача математического программирования по оптимизации процесса охлаждения стальной отливки в керамической форме, поверхность которой имеет как цилиндрические, так и сферические участки, на которых выполнены температурные швы (кольцевые выточки). На основе уравнений линейной теории упругости и численных методов разработаны алгоритм и программа по определению оптимального влияния выточек на НДС ОФ при затвердевании стальной отливки. На примере решения частной задачи показана эффективность выполнения кольцевых температурных швов на наружной поверхности ОФ, соприкасающейся с ОН, для снижения образующихся растягивающих напряжений на внешней поверхности ОФ.