Введение

Проведены аналитические [1; 2] и теоретические исследования [3 ‒ 5] по трещиностойкости керамической оболочковой формы (КОФ) после заливки в нее жидкого металла и охлаждения затвердевающей отливки. Исследовалась оболочковая форма (ОФ) в форме стакана, ограниченная сферической и цилиндрической поверхностями. Установлено, что наиболее опасным напряжением, возникающим при охлаждении в ОФ жидкого металла, являются растягивающие нормальные напряжения на наружной поверхности формы, примыкающей к опорному наполнителю (ОН). Найдены оптимальные внешние силовые и температурные воздействия на ОФ, гарантирующие ее стойкость при получении в ней стальной отливки. Кроме того, изучены и предложены новые морфологические структуры ОФ, выдерживающие термические напряжения охлаждающихся в них отливок.

Проведено множество теоретических и экспериментальных исследований по установлению особенностей напряженно-деформированного состояния (НДС) керамической оболочковой формы и получаемых отливок в литье по выплавляемым моделям (ЛВМ) по влиянию на НДС материалов выплавляемых моделей [6; 7], формы и геометрии КОФ [8; 9], толщины стенки формы [10; 11], материала формы [12; 13], геометрии отливок [14 ‒ 16], методов испытаний формы на прочность и пр. [17; 18].

Математическое моделирование таких процессов также представлено в других работах (в частности, методы моделирования [19], методы исследований [20 ‒ 22], исследования с использованием численного моделирования [23 ‒ 25], специальных математических моделей [26 ‒ 28] и программных средств [29; 30]).

Как показали дальнейшие теоретические исследования, на стойкость ОФ большое влияние оказывает их форма, органически связанная с геометрией формирующейся в ней отливки.

Однако работ, в которых рассматриваются процессы моделирования трещиностойкости КОФ в зависимости от количественных и качественных показателей ее НДС при формировании в ней стальной отливки в виде сферы (шара), практически нет. Именно этому процессу посвящена настоящая работа.

Приведено теоретическое исследование получения стальной отливки в ОФ в виде шара. В технике наблюдается огромное многообразие номенклатуры деталей, изготавливаемых в виде шаровой и сферической форм. К ним относятся, в первую очередь, шаровые опоры, которые являются основными узлами в машиностроении и робототехнике.

Первые теоретические результаты рассматриваемого технологического процесса опубликованы в работе [31], где наглядно показано, что НДС в ОФ коренным образом отличается от НДС в цилиндрической ОФ при получении стальной отливки. Однако в работе [31] не рассмотрена математическая модель процесса.

В настоящей работе показано, что качественные заготовки под шаровые опоры можно получать с помощью литья, что намного дешевле, чем обработкой металлов давлением.

Инженерная постановка задачи

Жидкая сталь разливается в сферическую форму, в которой кристаллизуется путем отвода тепла от стенок ОФ через ОН (рис. 1, а). Сферическая ОФ может быть монолитной или состоять из ряда слоев [1]. При этом каждый слой ОФ может иметь свои физико-механические характеристики. При охлаждении стали в ОФ, вследствие большого температурного градиента, в стенке возникают температурные напряжения, которые при определенных внешних воздействиях могут привести к ее разрушению, а значит, и к браку получаемой стальной отливки. Таким образом, задачей настоящего теоретического исследования является определение внешних факторов, при которых сферическая ОФ не будет разрушаться от возникающих в ней температурных напряжений.

Математическая постановка задачи

Рассматривается осесимметричное тело вращения. Деформируемый материал считается изотропным. Движение принимали медленным.

Имеем четырехкомпонентную систему (рис. 1, б). Деформируемой средой является затвердевший металл (область II) и форма (область III) – изотропные материалы. Процесс нестационарный. Используя теорию упругости и Эйлерову систему координат, запишем для каждой из областей систему уравнений:

‒ для области I:

‒ для областей II, III:

здесь σij – компоненты тензора напряжений; σ – гидростатическое напряжение; εij – компоненты тензора упругих деформаций; h – высота столба жидкого металла; \({k_p} = \frac{{1 - 2\mu }}{E}\) ‒ коэффициент объемного сжатия; μ ‒ коэффициент Пуаcсона; E – модуль Юнга; Gp – модуль сдвига в среде области p (II, III); αp – коэффициент линейного расширения; a1 – коэффициент температуропроводности в области I; τ – время; θ – температура; Cp – удельная теплоемкость в области p; γ – плотность; \(\theta _p^*\) – начальная температура в области p; λ = λ(θ) – теплопроводность; \({\sigma _{ij,j}} = \frac{{\partial {\sigma _{ij}}}}{{\partial {x_j}}};{\rm{ }}{u_{i,j}} = \frac{{\partial {u_i}}}{{\partial {x_j}}};\) используется суммирование по повторяющимся индексам.

В соответствии с осевой симметрией рассмотрим меридианное сечение (рис. 1, б).

При условии θм ≤ θк (θм и θк – температуры металла и кристаллизации) в процессе охлаждения жидкого металла его температура определяется толщиной затвердевшего слоя Δi из решения уравнения межфазового перехода [5].

Начальные условия задачи:

Δ|τ = 0 = 0 – отсутствие твердой фазы металла;

\(\theta _I^*\)|τ = 0 = 0 = \(\theta _{\rm{м}}^*\) – температура разливаемого жидкого металла;

\(\theta _{III}^*\)|τ = 0 = θ\(^*\) – начальная температура формы.

Граничные условия задачи (рис. 1, б):

‒ на оси симметрии: U2 = 0; σ21 = 0; qn = 0;

‒ на поверхностях S1 , S3 , S4

здесь Uck – скольжение материала формы относительно песка; \(U^*\) – нормирующее перемещение; ψ – параметр, характеризующий условия трения между формой и опорным наполнителем.

Для решения системы (2) использовался численный метод [32]. Согласно этому методу область деформирования разбивается на конечное число ортогональных криволинейных элементов (рис. 2, а).

При осевой симметрии имеем σ31 = σ32 = 0; σ13 = σ23 = 0; U3 = 0.

В соответствии с работой [32], уравнения (2) и значения εii с учетом осевой симметрии запишутся:

здесь \({U_i} = U_i^1 + U_i^2,{\rm{ }}\Delta {U_i} = U_i^2 - U_i^1,\) (i = 1, 2); \({S_{ij}} = S_{ij}^1 + S_{ij}^2;{\rm{ }}\Delta {S_{ij}} = S_{ij}^2 - S_{ij}^1.\)

Принятая символика описана в работах [1; 7].

Уравнения (4) – (7) записаны с учетом того, что \(\frac{{\partial {U_1}}}{{\partial {x_3}}} = 0,{\rm{ }}\frac{{\partial {\sigma _{3i}}}}{{\partial {x_3}}} = 0;\) i = 1, 2, 3; для тел вращения имеет место ΔS31 = 0; ΔS32 = 0; \(\frac{{\Delta {U_1}}}{{{S_3}}} = 0;{\rm{ }}\frac{{\Delta {U_2}}}{{{S_3}}} = 0;\) U3 = 0; на поверхности x1x3 : \(S_2^ +  - S_2^ -  = 0;\) на поверхности x2x3 :  \(S_2^ +  - S_2^ -  = 0;\) сдвиговые значения εij (i ≠ j) запишутся для узла (0) (рис. 2, г) в виде

где \({S_i} = S_i^1 + S_i^2;{\rm{ }}\Delta {\bar U_l} = {\bar U_{{l_2}}} - {\bar U_{{l_1}}};{\rm{ }}S_i^ +  = S_i^{1 + } + S_i^{2 + };\) \(S_i^ - = S_i^{1 - } + S_i^{2 - };\) \({\bar U_l}\) ‒ среднее от значения Ui по граням элемента.

В работе [32] доказано, что разностный аналог системы (4) – (6) с учетом уравнения (7) при наличии начальных и граничных условий является определимым. Размерность системы (4) – (6) значительно сокращается при осуществлении следующих операций.

1. Разности (σij – σjj) в уравнениях (4) выражаются через формулу (5).

2. Уравнение сохранения массы переписывается в рекуррентной форме с учетом выражений (7) в виде \(U_1^2\) = \(U_1^1\) + [A]; здесь [A] – оператор, не содержащий \(U_1^2\); направление обхода области по x1 (→), по x2 (↑).

3. Определяются сдвиговые выражения εij (i ≠ j) по внутренним узлам сетки в соответствии с формулами (8); i = 1, j = 2.

4. Определяются значения σij (i ≠ j) по внутренним узлам сетки из уравнений состояния \(\sigma _{12}^0 = G_p^0\varepsilon _{12}^0.\)

5. Определяются величины σij по внешним узлам сетки из граничных условий, а на контактных поверхностях – из закона трения.

6. Определяются σij по граням элементов как средние от значений σij в узлах граней.

7. Первое уравнение (4) переписывается в рекуррентном виде \(\sigma _{11}^1\) = \(\sigma _{11}^2\) + [Б]; здесь [Б] – оператор, не содержащий \(\sigma _{11}^1\); направление обхода области по x1 (←), по x2 (↓).

8. Из системы уравнений (второе уравнение в системе (4) и уравнение σ22 – σ11 = 2λ(ε11 – ε22)) определяются значения \(\sigma _{22}^1\) и \(\sigma _{22}^2\) для элемента, составляются уравнения вида \({F_3} = {(\sigma _{22}^2)_{IJ}} - {(\sigma _{22}^1)_{IJ + 1}} = 0\) для внутренних граней (где J – индекс элемента по координате x2 ).

Таким образом, если считать независимыми переменными \(X = \left\{ {{U_2},} \right.{\left. {{\rm{ }}{U_1}} \right|_{{x_1} = 0}},{\left. {{\rm{ }}{\sigma _{11}}} \right|_{{x_1}}} = \left. {x_1^*} \right\},\) то по последовательности (1) ‒ (7) можно определить зависимые переменные через X (\(x_1^*\) ‒ конечное значение координаты x по криволинейной области).

Эквивалентная система уравнений имеет вид

здесь \(U_1^*\) – известные из граничных условий перемещения U1 на границе области (x1 = \(x_1^*\)); \(\sigma _{11}^*\) – известные из граничных условий напряжения σ11 на границе области (x1 = 0).

Уравнений F1 = 0 столько, сколько неизвестных \({\left. {{\sigma _{11}}} \right|_{{x_1} = x_1^*}},\) а уравнений F2 = 0 столько, сколько неизвестных \({\left. {{U_1}} \right|_{{x_1}}}\) = 0.

Коэффициенты и свободные члены новой эквивалентной системы уравнений (9) можно найти с помощью следующей процедуры.

Пусть эквивалентная система уравнений имеет вид

Если считать, что все неизвестные равны нулю (xi = 0, i = 1, ..., n), то по вышеприведенной последовательности (1) ‒ (7) и расчете \({\bar F_i}\) по формулам (9) найдем свободные члены новой системы (10):

\[{\bar F_i}^0 = {b_i};{\rm{ }}i = 1,{\rm{ }}...,{\rm{ }}n.\]

Далее находим коэффициенты aij . Для этого считаем xk = 1, xi = 0 (i ≠ k; i = 1, ..., n). По указанной выше последовательности находим значение \(\bar F_i^k\) и aik по следующей формуле:

\[{a_{ik}} = F_i^k - F_i^0,{\rm{ }}i = 1,{\rm{ }}...,{\rm{ }}n.\]

Таким образом, определяется вся матрица aik новой эквивалентной системы, которая решается по стандартной программе. Размерность эквивалентной системы сокращается примерно в 10 раз по сравнению с исходной.

Для решения уравнения теплопроводности используется численный метод [1; 32]. В соответствии с рассматриваемым методом для каждого внутреннего k-го элемента (рис. 2, а) записывается из теплового баланса система теплопроводности в разностном виде с учетом осевой симметрии и строится итерационная процедура, которая с учетом того, что тепловой поток по x3 равен нулю, представляется итерационной формулой:

здесь \(\theta _k^*\) – средняя температура в k-ом элементе в начале временного шага Δτ; λk , θk , Ck , γk – средние теплопроводность, температура, теплоемкость и плотность в k-ом элементе в конце временного шага Δτ; \(\lambda _i^ - ,{\rm{ }}\theta _i^ - \) и \(\lambda _i^ + ,{\rm{ }}\theta _i^ + \), (i = 1, 2) – теплопроводность и температура в элементе, следующим за элементом k по координате xi в отрицательном и положительном направлениях xi ; \(S_{21}^ - = S_{21}^{1 - } + S_{21}^{2 - };\) \(S_{21}^ + = S_{21}^{1 + } + S_{22}^{2 + };\) \(S_{ij}^{1 + }\) (i ≠ j; i, j = 1, 2) и \(S_{ij}^{1 - }\) – длина дуги \(S_{ij}^1\) элемента, следующим за элементом k в положительном и отрицательном направлениях по координате xj .

В работе [32] доказывается сходимость итерационной процедуры (11).

Алгоритм решения задачи

1. Время охлаждения τ\(^*\) разбивается на конечное число шагов: \({\tau ^*} = \sum {\Delta {\tau _n}} ;\) здесь n – номер временного шага.

2. Исследуемая область разбивается на конечное число ортогональных элементов.

3. Задаются начальные и граничные условия по элементам, образующих рассматриваемую область, и константы физико-механических свойств материалов.

4. Вычисляются длины дуг элементов \(S_{ik}^j\) (i, k = 1, 2; i ≠ k; j = 1, 2).

5. Определяется поле температур на временном шаге Δτn численным решением уравнения теплопроводности с использованием итерационной формулы (11) при наличии начальных и граничных условий на рассматриваемом временном шаге.

6. Если температура в области I у поверхности S2 \({\left. \theta  \right|_{{S_2}}} \le {\theta _k},\) то вычисляется толщина Δn закристаллизовавшейся корочки [5]. Если \({\left. \theta  \right|_{{S_2}}} > {\theta _k},\) то выполняется следующая операция.

7. Решается система уравнений (2) с учетом разностных аналогов (4) – (7) и разработанной методики [1; 32], описанной выше. Определяются поля напряжений σij и перемещений Ui (i, j = 1, 2).

8. Проводится шаг по времени; если \(\sum {\Delta {\tau _n}} < {\tau ^*},\) то выполняется операция 4; если \(\sum {\Delta {\tau _n}} = {\tau ^*}\) – процесс вычисления закончен.

При решении температурной задачи использовали граничные условия первого рода (3). Для определения θм(τ) и θ\(^*\)(τ) воспользуемся экспериментальными данными работы [1]. Аппроксимируя эти величины, получим следующее:

\[\begin{array}{c}{\theta _{\rm{м}}} = 1550 - 1,666\tau  - \frac{{\tau (60 - \tau )}}{{10 + {\tau ^2}}};\\\theta  \le \tau  \le 60{\rm{ c}};\\{\theta ^*} = 20 + 17,3\sqrt \tau  ;\end{array}\]

здесь τ – время охлаждения, с.

Время τ не превышает 60 с, так как при τ ≥ 60 с напряжения в ОФ падают и не представляют опасности ее разрушения.

Разработана математическая модель по определению НДС и температуры в ОФ при охлаждении в ней сферической отливки, с использованием которой проведено численное решение задачи по моделированию трещиностойкости сферической ОФ.

Выводы

Предпринята первая теоретическая попытка по формулированию и решению задачи определения внешних факторов, при которых сферическая оболочковая форма не будет разрушаться от возникающих в ней температурных напряжений.

На основе основополагающих уравнений теории упругости и численных методов разработаны численная схема и алгоритм решения задачи.

Предложенная методика моделирования стойкости сферической оболочки к трещинообразованию может быть рекомендована для моделирования на других функциональных оболочках.