Формирование градиента структурно-фазовых состояний быстрорежущей стали при наплавке. Часть 1. Решение задачи Стефана с двумя подвижными границами

Введение

Для ремонта прокатных валков традиционно применяются технологии плазменной наплавки различных износостойких материалов [1]. В качестве наплавочных материалов особый интерес представляют теплостойкие сплавы на основе железа с высокими содержаниями вольфрама (примерно 17 – 18 %) и углерода (0,76 – 0,82 %), которые обладают высокими твердостью и износостойкостью [2]. Нанесение покрытий из таких сплавов сопровождается образованием холодных трещин, для борьбы с которыми применяют предварительный и сопутствующий высокотемпературный подогрев и замедленное охлаждение деталей [3]. Однако при такой обработке полученные покрытия имеют низкие твердость и износостойкость. Для их повышения необходимо проведение дополнительной термической обработки по сложной схеме отжиг – закалка – отпуск. Это сильно ограничивает применение рассматриваемых сплавов [4]. В этой связи актуален поиск способов плазменной наплавки теплостойких сплавов, которые позволяют избежать образования трещин и сохранить высокие механические и трибологические свойства без применения дополнительных термических обработок. Решение этой задачи требует наличия сведений о механизмах формирования градиентных структурно-фазовых состояний в материалах при наплавке. Фундаментальную роль в образовании данных состояний играют процессы кристаллизации материалов [5]. От протекания этих процессов будет зависеть, какая структура и, соответственно, какие механические свойства будут получены в ходе наплавки.

В настоящее время механизмам и моделям кристаллизации материалов на поверхностях различной геометрии посвящено множество работ [5 – 10]. В зависимости от внешних условий (скорости охлаждения, скорости вращения, температуры окружающей среды, степени переохлаждения и т.д.) образуется ячеистая или дендритная структура, либо одновременно существуют обе структуры [5; 6]. Одним из основных механизмов их образования, по мнению авторов работ [7; 8], является неустойчивость фронта кристаллизации, вызванная понижением температуры фазового перехода вследствие вытеснения примеси в расплав, а также явлением концентрационного переохлаждения. Таким образом, форма межфазной границы оказывает определяющее влияние на распределение примесей в кристалле [9]. Основной вывод всех теорий морфологической устойчивости заключается в том, что при определенном соотношении между температурным и концентрационным градиентами происходит потеря устойчивости фронта кристаллизации по отношению к малым возмущениям [10]. Это приводит к образованию сложных структурно-фазовых состояний, а также способствует протеканию процесса нуклеации частиц на растворенных примесях. Таким образом, перед фронтом кристаллизации возникает протяженная область фазового перехода [11]. Представленные в работах [5 – 11] модели учитывают только движение границ фазового перехода, но не рассматривают движение границ прогрева расплава. Обычно предполагается, что на данной границе наблюдается стабилизированное распределение температуры или ее устремляют в бесконечность [12; 13]. Учет того, что граница прогрева не является бесконечно большой, согласно результатам решения тепловой задачи [14] приводит к более быстрому росту частиц по сравнению с решением задач без учета данного факта. Таким образом, при построении математических моделей плазменного воздействия на структуру материалов необходимо учитывать как движение границ фазового перехода, так и границ прогрева. Поиск механизмов формирования градиента структуры и фазового состава теплостойких сплавов при плазменной наплавке на вращающийся валок необходимо проводить с использованием представлений о возникновении и развитии неустойчивости Маллинза-Секерки [15], анализ которой позволяет определить условия возникновения этих состояний с учетом движения границы прогрева. Изучение этой неустойчивости проводится в несколько этапов: определение характера возмущений поверхности раздела и оценка влияния ее кривизны на температуру ликвидуса; расчет полей температур и концентраций в твердой и жидкой фазе; нахождение зависимости скорости роста возмущений из условий на границе фазового перехода.

В настоящей работе особое внимание уделяется решению тепловой и диффузионной задачи Стефана для двух подвижных границ, что позволит отследить кинетику затвердевания материала. В отличие от традиционных работ [16 – 18] по решению данной задачи, где предполагается, что рост кристалла прямо пропорционален величине t^1/2, в настоящей работе данная гипотеза не используется. Процесс роста кристалла во времени отслеживается путем решения системы кинетических уравнений, полученных из условий баланса температуры и вещества на границах фазовых переходов.

Методика проведения исследований (постановка задачи)

Рассмотрим процесс направленного затвердевания цилиндрического фронта вдоль пространственной оси r. На рис. 1 приведена схема геометрии задачи.

Исходная фаза занимает область R₂(t) < r < +∞ (где t – время) и обладает температурой T₀. По мере достижения температуры T\(^{**}\) образуется вторая фаза, которая занимает область R₁(t) < r < R₂(t). При температуре T\(^*\) образуется третья фаза, которая находится в области 0 < r < R₁(t). Для каждой из областей запишем уравнение теплопроводности:

где χ₁ и χ₂, χ₃ – коэффициенты температуропроводности в областях 1 ‒ 3.

Движение границ фазовых переходов будет определяться из условий баланса температур и тепловых потоков:

где λ₁ и λ₂, λ₃ – коэффициенты теплопроводности в областях 1 ‒ 3; ΔH₁ и ΔH₂ ‒ объемная теплота фазовых превращений.

При r → 0 значение температуры составляет T_w1, а при r → ∞ значение температуры T₀. Начальные условия будут иметь вид

где R₀ и \(R_0^*\) ‒ начальные радиусы границ фазовых переходов.

Решение системы (1) ‒ (3) будем искать в виде

где A_i, B_i – произвольные постоянные; E_i(z) ‒ интегральная показательная функция; i = 1 ÷ 3.

Подставляя в выражение (4) граничные условия (2) и начальные условия (3), получим:

Параметр R, который имеет размерность радиальной координаты, выбран для устранения расходимости при r → 0. Его значение предполагается равным 10\(^–\)⁸ м.

Результаты и их обсуждение

Подстановка зависимости (5) в уравнения теплового баланса на границах фазовых переходов приводит к следующим кинетическим уравнениям:

Система (6) обыкновенных дифференциальных уравнений решается методом Рунге-Кутта высокого порядка. Для удобства расчетов были использованы безразмерные переменные \({\tilde R_i} = \frac{R}{{{R_0}}}\) и \(\tau = t\frac{{{\chi _1}}}{{R_0^2}}\) (τ – безразмерное время). Так как при t → 0 функция \({E_i}\frac{{R_i^2}}{{4\chi t}} \to 0,\) то значение времени задавалось порядка 10\(^–\)⁹ с. Характеристики исследуемого материала (системы железо – вольфрам) приведены в таблице.

В области 1 задавалась температура расплава T₀ = 1811 К. На границе R₂ температура ликвидуса T\(^{**}\) составляет 1806 К, а на границе R₁ температура солидуса T\(^*\) составляет 1803 К. Эти значения температур определялись по диаграмме состояния [19] при содержании вольфрама 18 % (по массе). Температура T_w1 меньше T\(^*\) и составляла 1790 К. Предполагалось, что χ₂ = χ₃ и λ₂ = λ₃, ΔН₁ = ΔН₂. На рис. 2 представлены зависимости движения границ раздела. При R₀ = 1 мкм координата границы R₁ увеличивается практически по линейному закону до τ = 0,028 (4,4118 нс), тогда как R₂ изменяется немонотонно, резко снижаясь после τ > 0,028 (4,4118 нс). Если R₀ = 10 мкм, то будет наблюдаться такая же тенденция с той лишь разницей, что длительность процесса кристаллизации будет составлять 41,176 мкс.

Полученные результаты позволяют сделать вывод, что с уменьшением размера зародышей время их устойчивого роста уменьшается практически на четыре порядка. Резкое снижение значения радиальной координаты R₂, такое же резкое увеличение координаты R₁ могут свидетельствовать о возникновении неустойчивости фронта кристаллизации, которая вызывается как наличием межфазного поверхностного натяжения, так и переохлаждением. Быстрое протекание процесса кристаллизации в областях малых размеров объясняется наличием большой поверхностной энергии, которая стремится уменьшиться за счет роста размеров и изменения конфигурации границы раздела сред [20]. На рис. 3 представлены зависимости температуры от безразмерной радиальной координаты. Видно, что с увеличением времени размеры области 2 уменьшаются (кривые 2 и 3), тогда как размеры области 3, увеличиваются.

Другая тенденция будет наблюдаться при T₀ = 1790 К, T\(^{**}\) = 1803 К, T\(^*\) = 1803 К и T_w1 = 1811 К (рис. 4). Координаты границ фазовых переходов будут уменьшаться (рис. 4, а), причем R₁ по линейному закону, а R₂ по параболическому. Зависимости температуры (рис. 4, б) показывают, что, как и в предыдущем случае, наблюдается снижение размеров областей 2 и 3 (кривые 2 и 3).

Выводы

Проведенное теоретическое исследование процесса кристаллизации системы на примере железо – вольфрам путем решения кинетических уравнений показало, что граница ликвидуса R₂ движется не по закону R ~ t^1/2, а по нисходящей параболе, граница солидуса R₁ движется практически по линейному закону. По достижении определенного значения времени наблюдается сближение данных границ, что говорит об остановке процесса кристаллизации или о развитии неустойчивости фронта кристаллизации. Полученные температурные зависимости послужат основой для изучения этой неустойчивости. Дальнейшее развитие модели в направлении ее адаптации к процессу плазменно-дуговой наплавки валков заключается в учете вращения одной из сред и более строгом учете влияния концентрации легирующих элементов.