ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ ПОЛУЧЕНИЯ ТОЧНЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С ИСТОЧНИКАМИ ТЕПЛОТЫ

Путем применения дополнительной искомой функции и дополнительных граничных условий в интегральном методе теплового баланса получено точное аналитическое решение задачи теплопроводности для полубесконечной пластины при симметричных граничных условиях первого рода с равномерно распределенным источником теплоты. Введение дополнительной искомой функции, представляющей изменение температуры во времени в центре пластины, основывается на описываемой параболическим уравнением теплопроводности бесконечной скорости распространения теплоты, согласно которой температура в любой точке пластины начинает изменяться сразу после приложения граничного условия первого рода на ее поверхности. Дополнительные граничные условия находятся так, чтобы их выполнение искомым решением было эквивалентно выполнению уравнения краевой задачи в граничных точках. При их нахождении используется дифференциальное уравнение и заданные граничные условия. Приведенные общие формулы позволяют найти дополнительные граничные условия для любого числа приближений. Показано, что выполнение уравнения в граничных точках приводит к его выполнению и внутри области с точностью, зависящей от числа приближений (числа дополнительных граничных условий). Использование интегрального метода теплового баланса позволяет свести решение уравнения в частных производных к интегрированию обыкновенного уравнения относительно дополнительной искомой функции. Отсутствие необходимости интегрирования исходного уравнения по пространственной переменной позволяет использовать данный метод при решении многих сложных краевых задач (нелинейных, с переменными коэффициентами и др.), для которых затруднительно получить решение с помощью классических точных аналитических методов. Используя найденное аналитическое решение, а также результаты изменения температуры во времени в одной из точек пластины, полученные методом конечных разностей, путем решения обратной задачи теплопроводности восстановлена мощность внутреннего источника теплоты. Результаты работы могут быть использованы для идентификации источников теплоты, возникающих при воздействии электромагнитных волн, высокочастотных колебаний и прочее, а также при плавлении или кристаллизации сплавов, сопровождающихся возникновением внутренних источников теплоты.

нестационарная теплопроводность, полубесконечная пластина, источник теплоты, бесконечная скорость распространения теплоты, интегральный метод теплового баланса, точное аналитическое решение, дополнительная искомая функция, дополнительные граничные условия

1. Кудинов В.А., Кудинов И.В. Аналитические решения параболических и гиперболических уравнений тепломассопереноса. – М.: Инфра-М, 2013. – 391 с.

2. Лыков А.В. Методы решения нелинейных уравнений нестационарной теплопроводности // Энергетика и транспорт. 1970. № 5. С. 109 – 150.

3. Гудмен Т. Применение интегральных методов в нелинейных задачах нестационарного теплообмена // Проблемы теплообмена: Сб. науч. тр. – М.: Атомиздат, 1967. С. 41 – 53.

4. Био М. Вариационные принципы в теории теплообмена. – М.: Энергия, 1975. – 209 с.

5. Вейник А.И. Приближенный расчет процессов теплопроводности. – М.-Л.: Госэнергоиздат, 1959. – 184 с.

6. Швец М.Е. О приближенном решении некоторых задач гидродинамики пограничного слоя // Прикладная математика и механика. 1949. Т. 13. № 3. С. 257 – 266.

7. Тимошпольский В.И., Постольник Ю.С., Андрианов Д.Н. Теоретические основы теплофизики и термомеханики в металлургии. – Минск: Белорусская навука, 2005. – 560 с.

8. Глазунов Ю.Т. Вариационные методы. – М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2006. – 470 с.

9. Беляев Н.М., Рядно А.А. Методы нестационарной теплопроводности. – М.: Высшая школа, 1978. – 328 с.

10. Кудинов В.А., Стефанюк Е.В. Аналитический метод решения задач теплопроводности на основе введения фронта температурного возмущения и дополнительных граничных условий // Инженерно-физический журнал. 2009. Т. 82. № 3. С. 540 – 558.

11. Стефанюк Е.В., Кудинов В.А. Получение приближенных аналитических решений при рассогласовании начальных и граничных условий в задачах теории теплопроводности // Изв. вуз. Математика. 2010. № 4. С. 63 – 71.

12. Кудинов В.А., Кудинов И.В., Скворцова М.П. Обобщенные функции и дополнительные граничные условия в задачах теплопроводности для многослойных тел // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2015. Т. 55. № 4. С. 129 – 140.

13. Формалев В.Ф., Кузнецова Е.Л., Рабинский Л.Н. Локализация тепловых возмущений в нелинейных анизотропных средах с поглощением // Теплофизика высоких температур. 2015. № 4. С. 579 – 584.

14. Формалев В.Ф., Колесник С.А., Кузнецова Е.Л., Рабинский Л.Н. Тепломассоперенос в теплозащитных композиционных материалах в условиях высокотемпературного нагружения // Теплофизика высоких температур. 2016. № 3. С. 415 – 422.

15. Канторович Л.В. Об одном методе приближенного решения дифференциальных уравнений в частных производных // Докл. АН СССР. 1934. Т. 2. № 9. С. 532 – 534.

16. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. – М.: Гостеориздат, 1952. – 695 с.

17. Федоров Ф.М. Граничный метод решения прикладных задач математической физики. – Новосибирск: Наука, 2000. – 220 с.

18. Федоров Ф.М. Граничный метод решения прикладных задач математической физики и его приложения в геомеханике: Автореф. дис. … д-ра. физ.-мат. наук. – Новосибирск: Ин-т вычисл. матем. и матем. физики СО РАН, 2002.

19. Кудряшов Л.И., Меньших Н.Л. Приближенные решения нелинейных задач теплопроводности. – М.: Машиностроение, 1979. – 232 с.

20. Цой П.В. Системные методы расчета краевых задач тепломассопереноса. – М.: Изд-во МЭИ, 2005. – 568 с.

21. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. – М.: Высшая школа, 2001. – 550 с.

22. Лыков А.В. Теория теплопроводности. – М.: Высшая школа, 1967. – 600 с.