blackmetИзвестия высших учебных заведений. Черная МеталлургияIzvestiya. Ferrous Metallurgy0368-07972410-2091National University of Science and Technology "MISIS"10.17073/0368-0797-2026-1-91-102blackmet-3021Research ArticleИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ И АВТОМАТИЗАЦИЯ В ЧЕРНОЙ МЕТАЛЛУРГИИINFORMATION TECHNOLOGIES AND AUTOMATIC CONTROL IN FERROUS METALLURGYМатематическое моделирование электропроводности расплавов с эвтектическим и монотектическим характером взаимодействия компонентовMathematical modeling of electrical conductivity of melts with eutectic and monotectic interaction characteristics of componentshttps://orcid.org/0000-0002-3347-9148ЧиковаО. А.ChikovaO. A.

Ольга Анатольевна Чикова, д.ф.-м.н., профессор кафедры физики

Россия, 620002, Екатеринбург, ул. Мира, 19

Ol’ga A. Chikova, Dr. Sci. (Phys.–Math.), Prof. of the Chair of Physics

19 Mira Str., Yekaterinburg 620002, Russian Federation

O.A.Chikova@urfu.ruhttps://orcid.org/0009-0003-4237-8941ЛиШуайлунLiS.

Шуайлун Ли, аспирант кафедры физики

Россия, 620002, Екатеринбург, ул. Мира, 19

Shuailong Li, Postgraduate of the Chair of Physics

19 Mira Str., Yekaterinburg 620002, Russian Federation

shuailun.li@urfu.meУральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н. ЕльцинаРоссияUral Federal University named after the first President of Russia B.N. YeltsinRussian Federation20260203202669191102Copyright © Чикова О.А., Ли Ш., 20262026Чикова О.А., Ли Ш.Chikova O.A., Li S.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://fermet.misis.ru/jour/article/view/3021

В данной работе авторы предлагают использовать теорию обобщённой проводимости (ТОП) для математического моделирования электропроводности металлических расплавов с эвтектическим и монотектическим характером взаимодействия компонентов. Рассмотрены и проанализированы основные подходы ТОП: метод перехода к элементарной ячейке и метод эффективной среды, позволяющие описывать свойства гетерогенных жидких металлических систем. В статье представлена математическая постановка задачи расчёта эффективного коэффициента электропроводности по известным значениям указанных параметров исходных компонентов и их концентрациям. Авторы приводят пример расчета удельного электрического сопротивления расплава Pb – Bi с эвтектическим характером взаимодействия компонентов. Расчет проводился методом перехода к элементарной ячейке Рэлея: модели структуры с взаимопроникающими компонентами, модели структуры с изолированными включениями и методом эффективной среды. Результаты расчётов по данным моделям были сопоставлены с экспериментальными данными об удельном электросопротивлении жидких сплавов Pb – Bi в широком диапазоне температур и концентраций. Все три подхода к оценке удельного электросопротивления расплавов Pb – Bi показали результаты, близкие к данным эксперимента. Наиболее близкие значения были продемонстрированы моделью структуры с взаимопроникающими компонентами, для которой среднеквадратичное отклонение расчётных значений от экспериментальных составило менее 4 %. Авторы обосновали, что применение ТОП для расчёта эффективной электропроводности расплавов целесообразно на начальных этапах разработки новых металлических материалов с заданными свойствами, особенно в случаях, когда проведение прямых экспериментов затруднено. Такой подход позволяет существенно снизить временные и финансовые затраты на синтез образцов и экспериментальное исследование их физико-химических характеристик.

The authors propose to use the generalized conductivity theory (GCT) for mathematical modeling of electrical conductivity of metallic melts with eutectic and monotectic interaction of components. The main GCT approaches are considered and analyzed: the method of transition to unit cell and the effective medium method, which allow describing the properties of heterogeneous liquid metallic systems. The paper presents a mathematical formulation of the problem of calculating the effective coefficients of electrical conductivity from the known values ​​of the specified parameters of the initial components and their concentrations. An example of calculating the specific electrical resistance of Pb-Bi melt with eutectic interaction of the components is given. The calculation was carried out using the method of transition to the elementary cell of Rayleigh: a model of a structure with interpenetrating components, a model of a structure with isolated inclusions; and the effective medium method. The results of calculations for these models are compared with experimental data on the specific electrical resistance of liquid Pb – Bi alloys in a wide range of temperatures and concentrations. All three approaches to estimating the specific electrical resistance of Pb – Bi melts showed the results close to the experimental data. The closest values ​​were demonstrated by the model of a structure with interpenetrating components, for which the standard deviation of the calculated values ​​from the experimental ones was less than 4 %. The authors substantiated that the use of GCT for calculating the effective coefficients of melts’ electrical conductivity is advisable at the initial stages of developing new metallic materials with specified properties, especially in cases where direct experiments are difficult. This approach allows for a significant reduction in time and financial costs of synthesizing samples and experimentally studying their physicochemical characteristics.

математическое моделированиерасплавыэлектропроводностьтеория обобщенной проводимостиэвтектические расплавымонотектические расплавыпрогнозирование свойств материаловmathematical modelingmeltselectrical conductivitygeneralized conductivity theoryeutectic meltsmonotectic meltsproperty prediction of materialsПо материалам XVI Международной научной конференции «Физико-химические основы металлургических процессов» имени академика А.М. Самарина.Based on the materials of the 16th International Scientific Conference “Physicochemical Foundations of Metallurgical Processes” named after Academician A.M. Samarin.ReferencesДульнев Г.Н., Заричняк Ю.П. Теплопроводность и электро­­проводность двойных сплавов-смесей. Инженерно‑физический журнал. 1968;14(3):552.Dul’nev G.N., Zarichnyak Yu.P. Thermal and electrical conductivity of binary alloy mixtures. Inzhenerno‑fizicheskii zhurnal. 1968;14(3):552. (In Russ.).Дульнев Г.Н., Заричняк Ю.П. О расчете тепло- и электро­проводности расплавов некоторых металлов. Теплофизика высоких температур. 1972;10(4):771–777.Dul’nev G.N., Zarichnyak Yu.P. On the calculation of thermal and electrical conductivity of melts of some metals. Teplofizika vysokikh temperatur. 1972;10(4):771–777. (In Russ.).Дульнев T.Н., Заричняк Ю.П. Теплопроводность жидких смесей. Инженерно‑физический журнал. 1966;11(6):747.Dul’nev T.N., Zarichnyak Yu.P. Thermal conductivity of li­quid mixtures. Inzhenerno‑fizicheskii zhurnal. 1966;11(6): 747. (In Russ.).Уббелоде А. Плавление и кристаллическая структура. Москва: Мир; 1969:420.Ubbelohde A.R. Melting and Crystal Structure. Oxford: University Press; 1965:325.Френкель Я.И. Кинетическая теория жидкостей. Ленинград: Наука; 1975:592.Frenkel Ya.I. Kinetic Theory of Liquids. Leningrad: Nauka; 1975:592. (In Russ.).Шахпаронов М.И. Методы исследования теплового движения молекул и строения жидкостей. Москва: Издательство МГУ; 1963:280.Shakhparonov M.I. Methods for Studying the Thermal Motion of Molecules and the Structure of Liquids. Moscow: MSU; 1963:280. (In Russ.).Эдвабник В.Г. Теория обобщенной проводимости: Монография. Новосибирск: Наука; 2019:210.Edvabnik V.G. Theory of Generalized Conductivity: Monograph. Novosibirsk: Nauka; 2019:210. (In Russ.).Дульнев Г.Н., Новиков В.В. Теория протекания и проводимость неоднородных сред. Базовая модель неоднородной среды. Инженерно‑физический журнал. 1983; 45(2):136–141.Dul’nev G.N., Novikov V.V. Theory of flow and conducti­vity of inhomogeneous media. Basic model of inhomogeneous medium. Inzhenerno‑fizicheskii zhurnal. 1983;45(2): 136–141. (In Russ.).Rayleigh L. On the influence of obstacles arranged in rectangular order upon the properties of a medium. Philosophical Magazine. 1892;34(211):481–502. https://doi.org/10.1080/14786449208620364Rayleigh L. On the influence of obstacles arranged in rectangular order upon the properties of a medium. Philosophical Magazine. 1892;34(211):481–502. https://doi.org/10.1080/14786449208620364Bruggeman D.A.G. Berechnung verschiedener physikalischer Konstanten von heterogenen Substanzen. Annalen der Physik. 1935;416(7):636–664. (In Germ.). https://doi.org/10.1002/andp.19354160705Bruggeman D.A.G. Berechnung verschiedener physikalischer Konstanten von heterogenen Substanzen. Annalen der Physik. 1935;416(7):636–664. (In Germ.). https://doi.org/10.1002/andp.19354160705Дульнев Г.Н., Заричняк Ю.П. Теплопроводность смесей и композиционных материалов: Справочная книга. Ленинград: Энергия; 1974:264.Dul’nev G.N., Zarichnyak Yu.P. Thermal Conductivity of Mixtures and Composite Materials: A Reference Book. Leningrad: Energiia; 1974:264. (In Russ.).Дульнев Г.Н., Новиков В.В. Процессы переноса в неоднородных средах. Ленинград: Энергоатомиздат; 1991:247.Dul’nev G.N., Novikov V.V. Transfer Processes in Heterogeneous Media. Leningrad: Energoatomizdat; 1991:247. (In Russ.).Оделевский В.И. Расчет обобщенной проводимости гетерогенных систем. Журнал технической физики. 1951; 21(6):667–685.Odelevskii V.I. Calculation of generalized conductivity of heterogeneous systems. Zhurnal tekhnicheskoi fiziki. 1951;21(6):667–685. (In Russ.).Landauer R. Electrical conductivity in inhomogeneous media. AIP Conference Proceedings. 1978;40(1):2–45. https://doi.org/10.1063/1.31150Landauer R. Electrical conductivity in inhomogeneous media. AIP Conference Proceedings. 1978;40(1):2–45. https://doi.org/10.1063/1.31150Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. Москва: Гостехиздат; 1957:532.Landau L.D., Lifshitz E.M. Electrodynamics of Continuous Media. Moscow: Gostekhizdat; 1957:532. (In Russ.).Митюшов Е.А., Гельд П.В., Адамеску Р.А. Обобщенная проводимость и упругость макрооднородных гетерогенных материалов. Москва: Металлургия; 1992:145.Mityushov E.A., Gel’d P.V., Adamesku R.A. Generalized Conductivity and Elasticity of Macrohomogeneous Hete­rogeneous Materials. Moscow: Metallurgiia; 1992:145. (In Russ.).Mityushov E.A., Geld P.V. A self‑consistent method for the description of the generalized conductivity of heterogeneous systems. Journal of Engineering Physics. 1989;57(1): 789–793. https://doi.org/10.1007/bf00870791Mityushov E.A., Geld P.V. A self‑consistent method for the description of the generalized conductivity of heterogeneous systems. Journal of Engineering Physics. 1989;57(1): 789–793. https://doi.org/10.1007/bf00870791Кондорский Е.К. К теории магнитных свойств конгломератов и порошков. Доклады Академии наук CCCP. Серия география и геофизика. 1950;40(4): 294–301.Kondorskii E.K. On the theory of magnetic properties of conglomerates and powders. Doklady Akademii Nauk SSSR. Seriya geografiya i geofizika. 1950;14(4):294–301. (In Russ.).Dreizin Yu.A., Dykhne A.M. Anomalous conductivity of inhomogeneous media in a strong magnetic field. Journal of Experimental and Theoretical Physics. 1973;36(1):127–136.Dreizin Yu.A., Dykhne A.M. Anomalous conductivity of inhomogeneous media in a strong magnetic field. Journal of Experimental and Theoretical Physics. 1973;36(1):127–136.Буевич Ю.А. Об эффективной теплопроводности зер­нистых материалов. Журнал прикладная механика и техническая физика. 1973;(4):57–66.Buevich Yu.A. On effective thermal conductivity of granular materials. Zhurnal prikladnoi mekhaniki i tekhnicheskoi fiziki. 1973;(4):57–66. (In Russ.).Буевич Ю.А., Корнеев Ю.А. О переносе тепла и массы в дисперсной среде. Журнал прикладная механика и техническая физика. 1974;(4):79–87.Buevich Yu.A., Korneev Yu.A. On transfer of heat and mass in a dispersed medium. Zhurnal prikladnoi mekhaniki i tekhnicheskoi fiziki. 1974;(4):79–87. (In Russ.).Dykhne A.M. Calculation of the kinetic coefficients of media with random inhomogeneities. Journal of Experimental and Theoretical Physics. 1967;52(1):264–266.Dykhne A.M. Calculation of the kinetic coefficients of media with random inhomogeneities. Journal of Experimental and Theoretical Physics. 1967;52(1):264–266.Zhao Q.-G., Liu S.-J., Guo H., Chen X. A theoretical model for predicting the thermal conductivity of binary molten salts. International Journal of Heat and Mass Transfer. 2016;92:639–642. https://doi.org/10.1016/j.ijheatmasstransfer.2015.09.035Zhao Q.-G., Liu S.-J., Guo H., Chen X. A theoretical model for predicting the thermal conductivity of binary molten salts. International Journal of Heat and Mass Transfer. 2016;92:639–642. https://doi.org/10.1016/j.ijheatmasstransfer.2015.09.035Чикова О.А., Синицин Н.И., Вьюхин В.В. Электросопротивление сплавов Fe–Mn в жидком состоянии. Известия вузов. Физика. 2021;64(6):68–75. https://doi.org/10.17223/00213411/64/6/68Chikova O.A., Sinitsyn N.I., V’ukhin V.V. Electrical resistance of Fe–Mn alloys in the liquid state. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedenii. Fizika. 2021;64(6):68–75. (In Russ.). https://doi.org/10.17223/00213411/64/6/68Chikova O.A., Tsepelev V.S., Sinitsin N.I., Shmakova K.Yu., V’yukhin V.V. Abnormal resistivity behavior of Co–Cu alloys and responsible metastable liquid phase separation. Physica B: Condensed Matter. 2024;695:416594. https://doi.org/10.1016/j.physb.2024.416594Chikova O.A., Tsepelev V.S., Sinitsin N.I., Shmakova K.Yu., V’yukhin V.V. Abnormal resistivity behavior of Co–Cu alloys and responsible metastable liquid phase separation. Physica B: Condensed Matter. 2024;695:416594. https://doi.org/10.1016/j.physb.2024.416594Заричняк Ю., Рамазанова А., Эмиров С. Теплопроводность двойных непрерывных неупорядоченных твердых растворов. Известия РАН. Серия физическая. 2020;84:1328–1330. https://doi.org/10.31857/S0367676520090409Zarichnyak Yu., Ramazanova A., Emirov S. Thermal conductivity of binary continuous disordered solid solutions. Izvestiya Rossiiskoi akademii nauk. Seriya fizicheskaya. 2020;84:1328–1330. (In Russ.). https://doi.org/10.31857/S0367676520090409Stroud D. Generalized effective‑medium approach to the conductivity of an inhomogeneous material. Physical Review B. 1975;12:3368–3373. https://doi.org/10.1103/PhysRevB.12.3368Stroud D. Generalized effective‑medium approach to the conductivity of an inhomogeneous material. Physical Review B. 1975;12:3368–3373. https://doi.org/10.1103/PhysRevB.12.3368Чусов И.А., Проняев В.Г., Новиков Г.Е., Обысов Н.А. Соотношения для расчета транспортных и термодинамических свойств эвтектики свинец-висмут. Известия вузов. Ядерная энергетика. 2020;(1):107–120. https://doi.org/10.26583/npe.2020.1.11Chusov I.A., Pronyaev V.G., Novikov G.E., Obysov N.A. Relationships for calculating transport and thermodynamic properties of lead-bismuth eutectic. Izvestiya vuzov. Yadernaya energetika.2020;(1):107–120. (In Russ.). https://doi.org/10.26583/npe.2020.1.11Лякишев Н.П. и др. Диаграммы состояния двойных металлических систем: Справочник. В 3-х томах / Под общ. ред. Н. П. Лякишева. Том 1. Москва: Машинострое­ние; 1996:991.Lyakishev N.P., etc. Binary Metallic System Phase Diagrams: Handbook: in 3 vols. Vol. 1. Lyakishev N.P. ed. Moscow: Mashinostroenie;1996: 991. (In Russ.).Filippov V.V., Yagodin D.A., Borisenko A.V., Shunya­­ev K.Yu., Gelchinski B.R. Density, viscosity, ultrasound velocity, and electrical resistivity of the eutectic lead-bismuth melt. Russian Metallurgy (Metally). 2016;8:705–708. https://doi.org/10.1134/S0036029516020038Filippov V.V., Yagodin D.A., Borisenko A.V., Shunya­­ev K.Yu., Gelchinski B.R. Density, viscosity, ultrasound velocity, and electrical resistivity of the eutectic lead-bismuth melt. Russian Metallurgy (Metally). 2016;8:705–708. https://doi.org/10.1134/S0036029516020038Plevachuk Yu., Sklyarchuk V., Eckert S., Gerbeth G. some physical data of the near eutectic liquid lead-bismuth. Journal of Nuclear Materials. 2008;373(1-3):335–342. https://doi.org/10.1016/j.jnucmat.2007.06.014Plevachuk Yu., Sklyarchuk V., Eckert S., Gerbeth G. some physical data of the near eutectic liquid lead-bismuth. Journal of Nuclear Materials. 2008;373(1-3):335–342. https://doi.org/10.1016/j.jnucmat.2007.06.014Plevachuk Yu., Sklyarchuk V., Eckert S., Gerbeth G. Measurement of electrical conductivity of Pb–Bi alloys in the melting–solidification region. Journal of Nuclear Materials. 2008;376(3):363–365. https://doi.org/10.1016/j.jnucmat.2008.02.009Plevachuk Yu., Sklyarchuk V., Eckert S., Gerbeth G. Measurement of electrical conductivity of Pb–Bi alloys in the melting–solidification region. Journal of Nuclear Materials. 2008;376(3):363–365. https://doi.org/10.1016/j.jnucmat.2008.02.009Busch G., Güntherodt H.-j. Electronic properties of liquid metals and alloys. Solid State Physics: Advances in Research and Applications. 1974;29:235–313. https://doi.org/10.1016/S0081-1947(08)60426-9Busch G., Güntherodt H.-j. Electronic properties of liquid metals and alloys. Solid State Physics: Advances in Research and Applications. 1974;29:235–313. https://doi.org/10.1016/S0081-1947(08)60426-9Havlík R., Drienovský M., Gerhátová Ž., Babincová P., Kusý M., Gogola P., Palcut M. Phase constitution, microstructure and corrosion performance of binary Sn–Bi alloys. Journal of Materials Research and Technology. 2025;36: 173–181. https://doi.org/10.1016/j.jmrt.2025.03.069Havlík R., Drienovský M., Gerhátová Ž., Babincová P., Kusý M., Gogola P., Palcut M. Phase constitution, microstructure and corrosion performance of binary Sn–Bi alloys. Journal of Materials Research and Technology. 2025;36: 173–181. https://doi.org/10.1016/j.jmrt.2025.03.069Li X.-F., Zu F.-Q., Ding H.-F., Yu J., Liu L.-J., Xi Y. High-temperature liquid–liquid structure transition in liquid Sn-Bi alloys: Experimental evidence by electrical resistivity method. Physics Letters A. 2006;354(4):325–329. https://doi.org/10.1016/j.physleta.2006.01.058Li X.-F., Zu F.-Q., Ding H.-F., Yu J., Liu L.-J., Xi Y. High-temperature liquid–liquid structure transition in liquid Sn-Bi alloys: Experimental evidence by electrical resistivity method. Physics Letters A. 2006;354(4):325–329. https://doi.org/10.1016/j.physleta.2006.01.058Zu F.-q., Zhou B., Li X.-f., Yi X., Chen Y.-p., Sun Q.-q. Effect of liquid-liquid structure transition on solidification of Sn-Bi alloys. Transactions of Nonferrous Metals Society of China. 2007;17(5):893–897. https://doi.org/10.1016/S1003-6326(07)60195-2Zu F.-q., Zhou B., Li X.-f., Yi X., Chen Y.-p., Sun Q.-q. Effect of liquid-liquid structure transition on solidification of Sn-Bi alloys. Transactions of Nonferrous Metals Society of China. 2007;17(5):893–897. https://doi.org/10.1016/S1003-6326(07)60195-2Kondo T., Ohishi Y., Muta H., Kurosaki K., Yamana­­ka Sh. Thermal conductivity and electrical resistivity of liqu­id Sn-Bi alloys. Netsu Bussei. 2017;31(1):11–16. https://doi.org/10.2963/jjtp.31.11Kondo T., Ohishi Y., Muta H., Kurosaki K., Yamana­­ka Sh. Thermal conductivity and electrical resistivity of liqu­id Sn-Bi alloys. Netsu Bussei. 2017;31(1):11–16. https://doi.org/10.2963/jjtp.31.11

The authors declare that there are no conflicts of interest present.