к.ф.-м.н., доцент, заведующий кафедрой «Вычислительная математика и высокопроизводительные вычисления»
454080, Челябинск, пр. Ленина, 76
Cand. Sci. (Phys.–Math.), Assist. Professor, Head of the Chair of Computational Mathematics and High-Performance Computing
Chelyabinsk
Рассмотрена проблема изменения размеров частицы новой фазы в процессе ее роста в двухкомпонентном сплаве. Частица формируется из продуктов химических реакций, проходящих на границе раздела фаз. Обобщенная математическая модель роста частицы включает уравнения диффузии для каждого из компонентов фазы и массопереноса в граничном слое, а также уравнение, характеризующее изменение размеров растущей частицы. Предложен подход, позволяющий осуществить редукцию обобщенной модели к системе дифференциальных уравнений, описывающих состояние растущей частицы. Полученная система уравнений послужила основой для разработки численного метода определения изменения радиуса сферической частицы в зависимости от времени. Вычислительная схема метода включает конечно-разностные аналоги уравнений с дополнительно введенными регуляризирующими функционалами. Привлечение регуляризирующего подхода обеспечивает устойчивость вычислительной схемы метода относительно накапливаемых вычислительных погрешностей. Такой подход к разработке метода определения изменений радиуса частицы впервые позволил преодолеть ограничения по продолжительности наблюдения за изменением радиуса частицы. С целью проверки надежности, эффективности предложенного метода определения изменений радиуса частицы и получения экспериментальных оценок отклонений найденных радиусов от действительных значений проведены вычислительные эксперименты. В ходе экспериментов определены изменения радиуса частицы в различные моменты времени с помощью предложенного численного метода. Проведен сравнительный анализ найденных радиусов с тестовыми значениями и получены экспериментальные оценки отклонений вычисленных радиусов от тестовых функций. Результаты экспериментов и сравнительного анализа подтверждают надежность и достаточный уровень точности разработанного численного метода.
The paper deals with issue of particle growth in a two-component alloy. The particle is formed from the products of chemical reactions that occur at the phase boundary. Generalized mathematical model of particle growth includes diffusion equations, mass transfer equations in boundary layer, and equation characterizing change in radius of the growing particle. The paper proposes an approach that allows reduction of the initial issue to system of PDEs and ODE that describes the state of growing particle. This approach provides basis for developing numerical method for calculating radius of growing particle as a function of time, based on the obtained equations. The computational scheme involves the finite-difference analogues of equations with an additional regularizing functional that ensure stability of the method with respect to accumulated computational error. In order to verify reliability of the proposed computational scheme and to obtain experimental error estimates of numerical solutions, computational experiments were carried out. In the experiments, radius of growing particle is determined with respect to the time via the proposed method. Also, comparative analysis of the calculated radius with test values was carried out and experimental estimates of deviations of the calculated radius from the test functions were obtained. The results of the experiment presented in the work indicate sufficient accuracy of the developed numerical method.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.