к.т.н., доцент кафедры «Теоретические основы теплотехники и гидродинамики»,
443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244
Cand. Sci. (Eng.), Assist. Professor of the Chair “Theoretical Foundations of Thermal Engineering and Fluid Mechanics”,
Samara
д.т.н., профессор кафедры «Теоретические основы теплотехники и гидромеханика»,
443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244
Dr. Sci. (Eng.), Professor of the Chair “Theoretical Foundations of Thermal Engineering and Fluid Mechanics”,
Samara
аспирант кафедры «Теретические основы теплотехники и гидродинамики»,
443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244
Postgraduate of the Chair “Theoretical Foundations of Thermal Engineering and Fluid Mechanics”,
Samara
аспирант кафедры «Теретические основы теплотехники и гидродинамики»,
443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244
Postgraduate of the Chair “Theoretical Foundations of Thermal Engineering and Fluid Mechanics”,
Samara
Путем применения дополнительной искомой функции и дополнительных граничных условий в интегральном методе теплового баланса получено точное аналитическое решение задачи теплопроводности для полубесконечной пластины при симметричных граничных условиях первого рода с равномерно распределенным источником теплоты. Введение дополнительной искомой функции, представляющей изменение температуры во времени в центре пластины, основывается на описываемой параболическим уравнением теплопроводности бесконечной скорости распространения теплоты, согласно которой температура в любой точке пластины начинает изменяться сразу после приложения граничного условия первого рода на ее поверхности. Дополнительные граничные условия находятся так, чтобы их выполнение искомым решением было эквивалентно выполнению уравнения краевой задачи в граничных точках. При их нахождении используется дифференциальное уравнение и заданные граничные условия. Приведенные общие формулы позволяют найти дополнительные граничные условия для любого числа приближений. Показано, что выполнение уравнения в граничных точках приводит к его выполнению и внутри области с точностью, зависящей от числа приближений (числа дополнительных граничных условий). Использование интегрального метода теплового баланса позволяет свести решение уравнения в частных производных к интегрированию обыкновенного уравнения относительно дополнительной искомой функции. Отсутствие необходимости интегрирования исходного уравнения по пространственной переменной позволяет использовать данный метод при решении многих сложных краевых задач (нелинейных, с переменными коэффициентами и др.), для которых затруднительно получить решение с помощью классических точных аналитических методов. Используя найденное аналитическое решение, а также результаты изменения температуры во времени в одной из точек пластины, полученные методом конечных разностей, путем решения обратной задачи теплопроводности восстановлена мощность внутреннего источника теплоты. Результаты работы могут быть использованы для идентификации источников теплоты, возникающих при воздействии электромагнитных волн, высокочастотных колебаний и прочее, а также при плавлении или кристаллизации сплавов, сопровождающихся возникновением внутренних источников теплоты.
By application of additional required function and additional boundary conditions to the integral method of heat balance, the exact analytical decision of the heat conductivity task for a semiinfinite plate was received in case of the symmetric boundary conditions of the first kind with uniformly distributed warmth source. Introduction of the additional required function representing change of temperature in time in plate center is based on the heat conduction of the infinite speed of warmth distribution described by the parabolic equation according to which temperature in any point of a plate begins to change right after application of a boundary condition of the first kind on its surface. Additional boundary conditions are so that their execution, by the required decision, was equivalent to execution of the equation of a boundary value problem in boundary points. In case of their finding the differential equation and the given boundary conditions is used. The general formulas given in article allow to find additional boundary conditions for any number of approaches. It is shown that execution of the equation in boundary points leads to its execution also in the area with an accuracy depending on number of approaches (number of additional boundary conditions). Use of an integral method of a heat balance allows to consolidate the solution of a partial equation to integration of the ordinary equation of rather additional required function. Absence of need of integration of an input equation on space variable allows to use this method in case of the solution of many difficult boundary value problems (non-linear, with float factors, etc.) for which it is difficult to receive the decision by means of classical exact analytical methods. Using the found analytical solution, and also results of temperature change in time in one of plate points received by method of finite differences, the solution of the reverse task of heat conductivity regenerated the power of an internal source of warmth. Results of operation can be used for identification of the sources of warmth arising in case of influence of electromagnetic waves, high-frequency oscillations and so forth, and also in case of melting or crystallization of the alloys which are followed by origin of internal sources of warmth.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.